1) V=[tex] \frac{4}{3} \pi(n+1)^{3} [/tex]
2)a) Vk=[tex]\frac{4}{3}\pi (k+1)^{3}-\frac{4}{3}\pi k^{3}=\frac{4}{3}\pi((k+1)^{3}-k^{3}) [/tex]
[tex](k+1)^{3}-k^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1-k^{3}=3k^{2}+3k+1 [/tex]
Donc [tex]Vk= \frac{4}{3} \pi (3k^{2}+3k+1) [/tex]
2b) V est égale à la somme des Vk+le volume de sphère de rayon 1.
(Je ne sais pas faire le Sigma pour la somme des termes donc je note Sn la somme de 1 a n)
Donc V=Sn(Vk)+4/3*π
3)
V=Sn(4/3*π(3k²+3k+1)+4/3*π=4/3*π(3*Sn(k²)+3*Sn(k)+Sn(1)+1)
Or Sn(1)=n donc
V=4/3*π(3*Sn(k²)+3*Sn(k)+n+1)
4/3*π*(n+1)³=4/3*π(3*Sn(k²)+3*Sn(k)+n+1)
Donc
(n+1)³=3*Sn(k²)+3*Sn(k)+n+1
4) On sait que Sn(k)=[tex] \frac{n(n+1)}{2} [/tex]
Donc Sn(k²)=1/3*((n+1)³-3n(n+1)/2-(n+1))
Sn(k²)=1/3*(n+1)((n+1)²-3n/2-1)
Sn(k²)=1/6*(n+1)(2(n+1)²-3n-2)
Sn(k²)=1/6*(n+1)(2n²+4n+2-3n-2)
Sn(k²)=1/6*(n+1)(2n²+n)
Sn(k²)=n(n+1)(2n+1)/6
