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Rachaelasri506
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Bonsoir, est ce que quelqu'un pourrait m'aider avec cette exercice sur les vecteurs svp et merci à l'avance ♥️

ABC est un triangle.

I est le milieu de [AC], J celui de [BI] et K est le point défini par BK=1/3BC

1. Construire une figure.

2. Démontrer que
que AJ=1/2AB + 1/4AC.

3. Démontrer que AK=2/3AB+ 1/3AC.

4. Démontrer que les points A,J et K sont alignés.​

Sagot :

Réponse :

1) construire une figure

                                     A

                                    / \  

                                  /  J   \I

                            B /...K........\C

2) démontrer que vec(AJ) = 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

d'après la relation de Chasles on a; vec(AJ) = vec(AB) + vec(BJ)

or  vec(BJ) = 1/2)vec(BI)

et  vec(BI) = vec(BA) + vec(AI)   relation de Chasles

on a; vec(AI) = 1/2)vec(AC)

donc vec(AJ) = vec(AB) + 1/2)(vec(BA) + 1/2)vec(AC))

                     = vec(AB) + 1/2)(- vec(AB) + 1/2)vec(AC))

                     = vec(AB) - 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

                     = 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

3) démontrer que vec(AK) = 2/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

d'après la relation de Chasles on a; vec(AK) = vec(AB) + vec(BK)

or vec(BK) = 1/3)vec(BC)  et  vec(BC) = vec(BA) + vec(AC) relation de Chasles

donc  vec(AK) = vec(AB) + 1/3)vec(BC)

                      = vec(AB) + 1/3)(vec(BA) + vec(AC))

                      = vec(AB) + 1/3)(- vec(AB) + vec(AC))

                      = vec(AB) - 1/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

                      = 2/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

4) démontrer que A; J et K sont alignés

il suffit de montrer que les vecteurs AK et AJ sont colinéaires

vec(AK) = 2/3)vec(AB) + 1/3)vec(AC)

vec(AJ) = 1/2)vec(AB) + 1/4)vec(AC)

or vec(AK) = 4/6)vec(AB) + 4/12)vec(AC)

                 = 4/3)(1/2vec(AB) + 1/4)vec(AC))

donc vec(AK) = 4/3)vec(AJ) ; donc   les vecteurs AK et AJ sont colinéaires

on en déduit que les points A, J et K sont alignés      

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