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Bonjour
Tout d'abord, nous savons que la fonction exponentielle est dérivable et donc
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{e^x-e^1}{x-1}=e^1[/tex]
C'est juste la définition du nombre dérivé en 1
Et quand x tend vers -1/2, -1/2x tend vers 1 donc c'est équivalent à
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1/2} \dfrac{e^{-1/2x}-e^1}{-1/2x-1}=e^1\\\\\lim_{x\rightarrow -1/2} -2x\dfrac{e^{-1/2x}-e}{2x+1}=e[/tex]
Du coup, pour x différent de 0 et -1/2
[tex]\dfrac{4x^2-1}{e^{-1/2x}-e}}=\dfrac{(2x-1)(2x+1)}{e^{-1/2x}-e}}\\\\=-2x(2x-1) \times \dfrac{2x+1}{-2x(e^{-1/2x}-e)}\rightarrow \dfrac{-2\cdot(-1/2)\cdot(2\cdot (-1/2)-1)}{e}=\dfrac{-2}{e}[/tex]
La limite est donc -2/e
Merci