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Inesdecrvlh
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Bonjour je suis en 1ere et je bloque sur ce DM de maths est ce que quelqu'un peut m'aider.

Un cylindre est inscrit dans un cône de hauteur 30 et de rayon 10. On note h la hauteur du cylindre et r son rayon.

On cherche à déterminer la valeur de r pour laquelle le volume du cylindre est maximal.
1. Prouver que h=3(10-r) et en déduire le volume de ce cylindre, en fonction de r, noté V(r).
2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction V, notée V'.
3. Étudier le signe de V'(r) et en déduire les variations de la fonction V.
4. Conclure ​

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Voir figure jointe qui montre une coupe.

(A'O') // (AO)

Donc Thalès dans les 2 triangles SO'A' et SOA :

SO'/SO=A'O'/AO

SO'/30=r/10

SO'=30r/10

SO'=3r

Mais h=SO-SO'

h=30-3r ==>On met 3 en facteur :

h=3(10-r)

Vcylindre=aire base x hauteur

V(r)=π*r²*h

V(r)=π*r²*3(10-r) ==> On développe :

V(r)=-3πr³+30πr² (C'est V(r)= -3*pi*r^3-30*pi*r² : OK ? )

2)

V '(r)=-9πr²+60πr

3)

V '(r)=3πr(-3r+20)

Le facteur "3πr" est toujours positif donc V '(r) est du signe de (-3r+20).

-3r + 20 > 0 pour r < 20/3

Variation de V(r) :

r--------->0........................20/3...................30

V '(r)---->................+...........0.............-...........

V (r)----->0..............C.........?.............D..........0

C=flèche qui monte et D= flèche qui descend.

V(20/3) ≈ 1396 cm³

4)

Le volume du cylindre est max pour x=20/3 cm soit ≈6.7 cm et vaut environ 1396 cm³.

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