Bonjour,
a) Une méthode naive est d'écrire que les points sont sur la courbe représentative de la fonction polynôme associée au polynome P que l'on cherche.
P étant de la forme, car il est de degré 2
[tex]P(X)=aX^2+bX+c[/tex]
Donc
[tex]y_1=ax_1^2+bx_1+c\\ \\y_2=ax_2^2+bx_2+c\\ \\y_3=ax_3^2+bx_3+c[/tex]
Et ici cela donne
[tex]3=a+b+c\\ \\2=a-b+c\\ \\0=c[/tex]
Donc c = 0 et la somme des deux premières équations donne
5=2a donc le polynôme recherhcé est
[tex]\boxed{P(X)=\dfrac{5}{2}X^2+\dfrac{1}{2}X}[/tex]
b)
[tex]P_1(X)=\dfrac{(X+1)(X-2)}{2\times (-1)}=-\dfrac{(X+1)(X-2)}{2}\\\\P_2(X)=\dfrac{(X-1)(X-2)}{(-2) \cdot (-3)}=\dfrac{(X-1)(X-2)}{6}\\P_3(X)=\dfrac{(X-1)(X+1)}{1 \cdot 3}=\dfrac{(X-1)(X+1)}{3}[/tex]
c)
[tex]P(X)=-\dfrac{3(X+1)(X-2)}{2}+\dfrac{(X-1)(X-2)}{3}+\dfrac{(X-1)(X+1)}{3}\\\\=\dfrac{1}{6} \times (-9(X^2-X-2)+2(X^2-3X+2)+2(X^2-1))\\\\=\dfrac{1}{6} \times (-5X^2+3X+20)\\\\=\dfrac{-5X^2+3X+20}{6}[/tex]
La fonction polynôme associée à P passe par A B et C par construction car
[tex]P_1(x_1)=1=P_2(x_2)=P_3(x_3) \\ \\P_1(x_2)=P_1(x_3)=0\\\\P_2(x_1)=P_2(x_3)=0\\\\P_3(x_2)=P_3(x_1)=0 \\ \\P(x_1)=y_1\\\\P(x_2)=y_2\\\\P(x_3)=y_3[/tex]
