1) Dans un triangle ABC isocèle en B, la médiane issue de B est aussi la hauteur issue de B, la médiatrice de AC et la bissectrice de l'angle en B.
Donc BE est perpendiculaire à AC
Donc ABE est rectangle en E
2) D est le milieu de AB. Or AB est l'hypoténuse du triangle ABE.
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.
D est donc le centre du cercle circonscrit à ABE donc DA=DE
DAE est isocèle en D.
Comme DF//BE on sait par le théorème de Thalès que comme D est le milieu de AB,
F est le milieu de AE
DF est donc la médiane issue de B dans le triangle ADE et comme ADE est isocèle en D, DF est aussi la bissectrice de ADE.
3) ABC est isocèle en B donc BCA=BAC
ABC=2α car BE est la bissectrice de ABC
Or ABC+BCA+BAC=ABC+2*BCA=180 donc BCA=1/2*(180-2α)=90-α
BCA=BAC=90-α
DEB est isocèle en D car DE=DB (D centre du cercle circonscrit à ABE)
Donc DBE=DEB=EBC=α
On en déduit que BDE=180-2α
DF//BE donc FDE=α
DE//BC donc DEF=BCE=BCA=90-α
FAD=FDE=α
