Bonsoir,
Exercice 3
[tex]v(t)=-\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{5t^2}{2}+10[/tex]
a) Déterminons la valeur de t telle que v(t) est maximal.
[tex]
v(t)=-\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{5t^2}{2}+10\\\\v'(t)=-\dfrac{1}{3}\times3t^2+\dfrac{5}{2}\times2t+0\\\\v'(t)=-t^2+5t\\\\v'(t)=t(-t+5)[/tex]
Tableau de signes de la dérivée et variations de la fonction v.
[tex]\\\\racines:0\ et\ 5\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|}t&-\infty&&0&&5&&+\infty \\ t&&-&0&+&+&+&\\-t+5&&+&+&+&0&-&\\v'(t)=t(-t+5)&&-&0&+&0&-&\\v(t)&&\searrow&10&\nearrow&\dfrac{185}{6}\approx30,8&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
La vitesse est maximale si t = 5.
L'automobiliste quittera la bretelle d'autoroute après 5 secondes.
b) L'automobiliste d'engagera sur l'autoroute à la vitesse de 30,8 m/s.
c) Calcul de la longueur de cette bretelle d'autoroute.
[tex]L=\int\limits_0^5v(t)dt\\\\L=\int\limits_0^5(-\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{5t^2}{2}+10)dt\\\\L=[-\dfrac{1}{3}\times\dfrac{t^4}{4}+\dfrac{5}{2}\times\dfrac{t^3}{3}+10t]_0^5\\\\L=[-\dfrac{t^4}{12}+\dfrac{5t^3}{6}+10t]_0^5\\\\L=(-\dfrac{5^4}{12}+\dfrac{5\times5^3}{6}+10\times5)-(-\dfrac{0^4}{12}+\dfrac{5\times0^3}{6}+10\times0)\\\\L=(-\dfrac{5^4}{12}+\dfrac{5^4}{6}+50)-0[/tex]
[tex]L=-\dfrac{625}{12}+\dfrac{625}{6}+50\\\\L=-\dfrac{625}{12}+\dfrac{1250}{12}+\dfrac{600}{12}\\\\L=\dfrac{1225}{12}\\\\\boxed{L\approx102\ m\ (arrondi\ au\ m\grave{e}tre\ pr\grave{e}s)}[/tex]
La longueur de cette bretelle d'autoroute est environ égale à 102 mètres (arrondi au mètre près).
Question 4
[tex]\int\dfrac{dx}{x^2\sqrt{5-x^2}}
[/tex]
Changement de variable : [tex]\boxed{x=\sqrt{5}sint}
[/tex]
[tex]\int\dfrac{dx}{x^2\sqrt{5-x^2}}=\int\dfrac{\sqrt{5}\cos t dt}{(\sqrt{5}\sin t)^2\sqrt{5-(\sqrt{5}\sin t)^2}}\\\\=\int\dfrac{\sqrt{5}\cos t dt}{5\sin^2t\ \sqrt{5-5\sin^2 t}}\\\\=\int\dfrac{\sqrt{5}\cos t dt}{5\sin^2t\ \sqrt{5(1-\sin^2 t)}}\\\\=\int\dfrac{\sqrt{5}\cos t dt}{5\sin^2t\ \sqrt{5\cos^2 t}}\\\\=\int\dfrac{\sqrt{5}\cos t dt}{5\sin^2t\ \sqrt{5}\sqrt{\cos^2 t}}[/tex]
[tex]=\int\dfrac{\sqrt{5}\cos t }{5\sin^2t\ \sqrt{5}\cos t}dt\\\\\\=\boxed{\int\dfrac{1}{5\sin^2t}dt}[/tex]
