Bonjour,
Ecrivons une primitive de [tex]xe^x[/tex] sous la forme [tex](ax+b)e^x[/tex]
Par définition de primitive,
[tex][(ax+b)e^x]'=xe^x[/tex]
D'où
[tex](ax+b)'e^x+(ax+b)(e^x)'=xe^x\\\\ae^x+(ax+b)e^x=xe^x\\\\ae^x+axe^x+be^x=xe^x\\\\axe^x+(a+b)e^x=xe^x[/tex]
Identifions les deux membres.
[tex]\left\{\begin{matrix}a=1\\a+b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=1\\1+b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=1\\b=-1 \end{matrix}\right.[/tex]
Remplaçons a et b par leurs valeurs dans [tex](ax+b)e^x[/tex].
Une primitive de [tex]xe^x[/tex] est donc [tex](x-1)e^x[/tex]
De plus, une primitive de [tex]x^2+2x+2[/tex] est [tex]\dfrac{x^3}{3}+x^2+2x[/tex]
Par conséquent,
Une primitive de [tex] xe ^{2} + x^{2} +2x + 2[/tex] est [tex]\boxed{(x-1)e^x+\dfrac{x^3}{3}+x^2+2x}[/tex]
