1) N, A et B sont sur le cercle C, donc C est le cercle circonscrit au triangle NAB.
Or O est le milieu de NB puisque NB est un diamètre de C et O son centre.
Dans
un triangle, si le centre du cercle circonscrit est le milieu d'un des
côtés, alors ce triangle est rectangle. Donc NAB est rectangle en A :
(NA) et (AB) sont perpendiculaires.
O est le milieu de NB donc NO/NB=1/2
I est le milieu de NA donc NI/NA=1/2
Donc NO/NB=NI/NA : d'après le réciproque du théorème de Thalès (AB) et (OI) sont //.
Si
2 droites sont parallèles et que l'une d'elles est perpendiculaire à
une 3ème droite, alors l'autre est aussi perpendiculaire à cette droite :
donc (IN) et (OI) sont perpendiculaires.
2a) Dans le triangle NAB :
SinNAB=AB/NB
NB=2R
D'après le théorème de l'angle inscrit MAB et NAB sont égaux car ils interceptent le même arc donc NAB=30
AB=2R*SinNAB=2R*Sin30
2b) Sin30=1/2 donc AB=R
Par Pythagore dans NAB on a
NB²=NA²+AB² donc NA²=NB²-AB²=(2R)²-R²=3R²
Donc AN=[tex] \sqrt{3}R [/tex]
