Trouvez des réponses fiables à toutes vos questions sur FRstudy.me. Obtenez des conseils étape par étape pour toutes vos questions techniques de la part de membres de notre communauté dévoués.
Sagot :
Bonsoir,
Dans cet exercice, nous devons supposer que f est continue.
1. f est paire.
[tex]\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{-a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\=\int\limits_{-a}^0 f(-t)d(-t)+\int\limits_{0}^a f(x)dx\ \ \ (en\ posant\ x=-t)[/tex]
Or f(-t) = f(t) car f est paire
d(-t) = -dt
De plus si -t = -a, alors t = a
si -t = 0, alors t = 0
D'où [tex]\int\limits_{-a}^a f(x)dx=-\int\limits_{a}^0 f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\boxed{\int\limits_{-a}^a f(x)dx=2\int\limits_{0}^a f(x)dx}[/tex]
2. f est impaire
[tex]\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{-a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\=\int\limits_{-a}^0 f(-t)d(-t)+\int\limits_{0}^a f(x)dx\ \ \ (en\ posant\ x=-t)[/tex]
Or f(-t) = -f(t) car f est impaire
d(-t) = -dt
De plus si -t = -a, alors t = a
si -t = 0, alors t = 0
D'où [tex] \int\limits_{-a}^a f(x)dx=-\int\limits_{a}^0 -f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^0 f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^a f(x)dx}\\\\\boxed{\int\limits_{-a}^a f(x)dx=0}[/tex]
3. f est périodique et de période T.
[tex]\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{T}^{a+T} f(x)dx[/tex]
Posons x = s + T
Alors dx = ds
De plus si x = T, alors s = 0
si x = a+T, alors s = a.
D'où
[tex]\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(s)ds\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(x)dx\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(x)dx\\\\(en\ permumtant\ les\ 2\ premiers\ termes)\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{a}^{a} f(x)dx[/tex]
[tex]\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+0\\\\\boxed{\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx}[/tex]
Dans cet exercice, nous devons supposer que f est continue.
1. f est paire.
[tex]\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{-a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\=\int\limits_{-a}^0 f(-t)d(-t)+\int\limits_{0}^a f(x)dx\ \ \ (en\ posant\ x=-t)[/tex]
Or f(-t) = f(t) car f est paire
d(-t) = -dt
De plus si -t = -a, alors t = a
si -t = 0, alors t = 0
D'où [tex]\int\limits_{-a}^a f(x)dx=-\int\limits_{a}^0 f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{0}^a f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\boxed{\int\limits_{-a}^a f(x)dx=2\int\limits_{0}^a f(x)dx}[/tex]
2. f est impaire
[tex]\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{-a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\=\int\limits_{-a}^0 f(-t)d(-t)+\int\limits_{0}^a f(x)dx\ \ \ (en\ posant\ x=-t)[/tex]
Or f(-t) = -f(t) car f est impaire
d(-t) = -dt
De plus si -t = -a, alors t = a
si -t = 0, alors t = 0
D'où [tex] \int\limits_{-a}^a f(x)dx=-\int\limits_{a}^0 -f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^0 f(t)dt+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^0 f(x)dx+\int\limits_{0}^a f(x)dx\\\\\int\limits_{-a}^a f(x)dx=\int\limits_{a}^a f(x)dx}\\\\\boxed{\int\limits_{-a}^a f(x)dx=0}[/tex]
3. f est périodique et de période T.
[tex]\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{T}^{a+T} f(x)dx[/tex]
Posons x = s + T
Alors dx = ds
De plus si x = T, alors s = 0
si x = a+T, alors s = a.
D'où
[tex]\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(s)ds\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(x)dx\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{a}^{0} f(x)dx+\int\limits_{0}^{a} f(x)dx\\\\(en\ permumtant\ les\ 2\ premiers\ termes)\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+\int\limits_{a}^{a} f(x)dx[/tex]
[tex]\\\\\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx+0\\\\\boxed{\int\limits_{a}^{a+T} f(x)dx=\int\limits_{0}^{T} f(x)dx}[/tex]
Merci de contribuer à notre discussion. N'oubliez pas de revenir pour découvrir de nouvelles réponses. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager des informations utiles. Revenez sur FRstudy.me pour des solutions fiables à toutes vos questions. Merci pour votre confiance.
