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Sagot :
1) f(x)=2x²+x-6 : c'est la forme développée de f
f(x)=2(x²+x/2-3)=2(x²+2x-3x/2-3)
f(x)=2(x(x+2)-3/2(x+2))
f(x)=2(x+2)(x-3/2) : c'est la forme factorisée de f
f(x)=2(x²+x/2+3)
f(x)=2(x²+2*1/4*x+1/16-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-1/16-48/16)
f(x)=2(x+1/4)²-2*49/16
f(x)=2(x+1/4)²-49/8 : c'est la forme canonique de f
2) a) Pour f(0) on utilise la forme développée :
f(0)=2*0²+0-6=-6
b) Pour f(-1/4) on utilise la forme canonique de f :
f(-1/4)=2(-1/4+1/4)²-49/8=-49/8
c) Pour f(x)=0 on utilise la forme factorisée :
f(x)=0
⇔2(x+2)(x-3/2)=0
⇔(x+2)(x-3/2)=0
⇔x+2=0 ou x-3/2=0
⇔x=-2 ou x=3/2
d) f(x) est une parabole dont le terme en x² est positif (1) : elle atteint donc un minimum.
Comme f(-2)=f(3/2)=0 ce minimum est atteint pour l'abscisse au milieu de -2 et 3/2 soit (-2+3/2)/2=-1/4
Donc le minimum est f(-1/4)=-49/8
f(x)=2(x²+x/2-3)=2(x²+2x-3x/2-3)
f(x)=2(x(x+2)-3/2(x+2))
f(x)=2(x+2)(x-3/2) : c'est la forme factorisée de f
f(x)=2(x²+x/2+3)
f(x)=2(x²+2*1/4*x+1/16-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-1/16-48/16)
f(x)=2(x+1/4)²-2*49/16
f(x)=2(x+1/4)²-49/8 : c'est la forme canonique de f
2) a) Pour f(0) on utilise la forme développée :
f(0)=2*0²+0-6=-6
b) Pour f(-1/4) on utilise la forme canonique de f :
f(-1/4)=2(-1/4+1/4)²-49/8=-49/8
c) Pour f(x)=0 on utilise la forme factorisée :
f(x)=0
⇔2(x+2)(x-3/2)=0
⇔(x+2)(x-3/2)=0
⇔x+2=0 ou x-3/2=0
⇔x=-2 ou x=3/2
d) f(x) est une parabole dont le terme en x² est positif (1) : elle atteint donc un minimum.
Comme f(-2)=f(3/2)=0 ce minimum est atteint pour l'abscisse au milieu de -2 et 3/2 soit (-2+3/2)/2=-1/4
Donc le minimum est f(-1/4)=-49/8
f(x)=2xcarré+x-6
=2(xcarré+x/2-6/2)
=2((x+1/4)^2-1/16-48/16)
=2((x+1/4)^2-49/16)
=2(x+1/4)^2-49/8 Ceci est la forme canonique de la fonction
f(x)=2x^2+x-6
On calcule le discriminant delta=1-4(2x-6)=1+48=49
Les 2 racines de f(x) sont : -1-V49/4=-1-7/4=-8/4=-2
ET -1+V49/4=-1+7/4=6/4=3/2
Donc f(x)=2(x-3/2)(x+2) Ceci est la forme factorisée de la fonction
2a)f(0)=2x0^2+0-6=-6 La forme développée , c'est celle de départ , est la + adaptée
2b) f(-1/4)=2(-1/4+1/4)^2-49/8=-49/8 La forme canonique est la + adaptée
2c)f(x)=0 Donc 2(x-3/2)(x+2)=0 La forme factorisée est la + adaptée
Donc x-3/2=0 ou x+2=0
Donc x=3/2 ou x=-2 S=(-2;3/2)
2d) La forme canonique nous donne l'extrêmum de coordonnées (-1/4;-49/8)
=2(xcarré+x/2-6/2)
=2((x+1/4)^2-1/16-48/16)
=2((x+1/4)^2-49/16)
=2(x+1/4)^2-49/8 Ceci est la forme canonique de la fonction
f(x)=2x^2+x-6
On calcule le discriminant delta=1-4(2x-6)=1+48=49
Les 2 racines de f(x) sont : -1-V49/4=-1-7/4=-8/4=-2
ET -1+V49/4=-1+7/4=6/4=3/2
Donc f(x)=2(x-3/2)(x+2) Ceci est la forme factorisée de la fonction
2a)f(0)=2x0^2+0-6=-6 La forme développée , c'est celle de départ , est la + adaptée
2b) f(-1/4)=2(-1/4+1/4)^2-49/8=-49/8 La forme canonique est la + adaptée
2c)f(x)=0 Donc 2(x-3/2)(x+2)=0 La forme factorisée est la + adaptée
Donc x-3/2=0 ou x+2=0
Donc x=3/2 ou x=-2 S=(-2;3/2)
2d) La forme canonique nous donne l'extrêmum de coordonnées (-1/4;-49/8)
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