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Mc1996
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On veut fabriaquer une boite en carton de base carrée sans couvercle de volume 13 500cm^3. On veut déterminer les dimensions de cette boite qui permettront d'utiliser le moins de matériau possible. 

1. Soit A(x) la somme des aires de toutes les faces de cette boite. Exprimer A(x) en fonction de x. 
2. Calculer A'(x) et vérifier que A'(x) = 2(x-30)(x²+30x+900) / x² 

mercii ;)

Sagot :

Soit x le côté du carré
Soit h la hauteur
Volume=(côté)^2 fois hauteur=hx^2
Or volume=13500 donc h=13500/x^2
L'aire de la boîte=l'aire du carré de base +aire des 4 faces latérales puisqu'il n'y a pas de couvercle
Donc l'aire de la boîte=A(x)=x^2+4hx
=x^2+4x(13500/x^2)=x^2+54000/x
=x^3+54000/x  ATTENTION C EST LE TOUT DIVISE PAR x ICI

La dérivée A'(x)=3x^3-x^3-54000/x^2    LE TOUT DIVISE PAR x^2
=2x^3-54000/x^2    LE TOUT AUSSI DIVISE PAR x^2

A'(x)=0    2x^3-54000=0    2x^3=54000  x^3=27000  x=30cm
donc A'(x) est factorisable par (x-30)
En effet, A'(x)=2(x-30)(x^2+30x+900)/x^2

On a vu que pour que A'(x) soit égale à 0 il faut x=30cm  donc h=13500/900=15cm
ce sont donc les DIMENSIONS QU IL FAUT POUR UTILISER LE MOINS DE MATERIAU

J'espère que ça ira :)
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