Exercice 19 :
a) A=(1-1/(n-1))(1-1/n)=(((n-1)+1)/(n-1))((n-1)/n)=(n/(n-1))((n-1)/n)=1
b) B=(1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/4²)=((2²-1)/2²)((3²-1)/3²)((4²-1)/4²)
B=(2²-1)(3²-1)(4²-1)/(2²*3²*4²)=(2+1)(2-1)(3+1)(3-1)(4+1)(4-1)/(2²*3²*4²)
(Ici on a utilisé l'identité remarquable (a²-b²)=(a+b)(a-b)
B=(1*3*2*4*3*5)/(2²*3²*4²)=5/(2*4)=5/8
Xn=(1-1/2²)(1-1/3²)....(1-1/n²)
Par analogie avec le B et en utilisant l'identité remarquable on obtient :
Xn=(1*3*2*4*3*5*4*6*......*(n-2)*n*(n-1)*(n+1)/(2²*3²*4²*........*n²)
Xn=(2*3²*4²*5²*......*(n-2)²*(n-1)²*n*(n+1))/(2²*3²*4²*......*n²)
Xn=(n+1))/(2*n)
Xn=(n+1)/2n
Exercice 20 :
Soit x le temps mis par Maria en heure. Valérie met x+3. Soit V la vitesse de Valérie.
Vitesse=distance/temps donc la V= 30/(x+3)
Si Valérie double sa vitesse, elle passe à 2V et on a
2V=30/(x-2) soit V=15/(x-2)
On a donc 30/(x+3)=15/(x-2)
⇔(x+3)/30=(x-2)/15
⇔(x+3)/2=x-2
⇔(x+3)=2(x-2)
⇔x+3=2x-4
⇔2x-x=3+4
⇔x=7
Donc Valérie met 7+3=10 heure pour faire 30km. Sa vitesse V=30/10=3 km/h
Exercice 21 :
a) y=x+1
z=x+y=x+x+1=2x+1
t=y+z=x+1+2x+1=3x+2
Si x+y+z+t=165 on a x+x+1+2x+1+3x+2=165
Soit 7x+4=165
⇔7x=161
⇔x=23
x=23 / y=24 / z=47 / t=71
Si x+y=zt on x+x+1=(2x+1)(3x+2)
Soit 2x+1=6x²+7x+2
⇔6x²+5x+1=0
Δ=25-4*6=1
donc x=(-5+1)/12=-1/3 ou x=(-5-1)/12=-1/2
Si x=-1/3, y=2/3, z=1/3, t=1
Si x=-1/2, y=1/2, z=0, t=1/2
En revanche aucune des 2 solutions ne vérifie x<y<<z<t
b) On a 10x+5y+2z=205
et x+y+z=85
10x+5y+2z=8x+2x+3y+2y+2z=8x+3y+2(x+y+z)=205
Donc 8x+3y+2*85=205
Soit 8x+3y=205-170=35
On en déduit que 3y=35-8x. Comme y≥0, 35-8x≥0 soit 8x≤35 donc la valeur maximale de x est 4.
Si x=4, 3y=35-32=3 donc y=1
On en déduit que 10*4+5*1+2z=205 soit 2z=205-40-5=160 et z=80
On a bien x+y+z=85 donc x=4 correspond.
