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Dalsakaw
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rebonjour

j'ai un autre exercice à faire et depuis tout à l'heure je suis penché là dessus mais je suis bloquée. Voici l'énoncé.

Un sac contient 10 boules: 2 vertes, 3 jaunes et 5 rouges. Nous allons procéder à deux épreuves, chaque fois avec l'hypothèse d'équiprobabilité.

1) 1er épreuve: on tire simultanément, au hasard 3 boules du sac.
a) Quel est l'univers β1 associé à cette épreuve? Calculer son cardinal.
b) Calculer les probabilités p(A) et p(B) si A est l'événement: - on obtient 1 jaune et 2 rouges- et si B est l'événement : - on obtient au moins une rouge -

2eme épreuve: On tire successivement avec remise, au hasard, 3 boules du sac.
a) Quel est l'univers β2 associé à cette épreuve? Calculer son cardinal.
b) Calculer les probabilités p(C) et p(D) si C est l'événement : - on obtient 1 jaune suivie de 2 rouges - et si D est l'événement : - on obtient 1 jaune ainsi que 2 rouges-

À défaut de pouvoir écrire oméga à partir de mon téléphone j'ai utilisé β à la place
excusez moi et merci de votre aide


Sagot :

Cersei
Bonjour.

Alors, reprenons tout depuis le début.

1 -
a) L'univers β1 associé à cette épreuve est le suivant : {verte;jaune;rouge}. Il s'agit des issues possibles, donc ici les issues différent seulement par la couleur.
N'ayant que 3 différentes issues possibles pour chaque boule, on a alors Card(β)=3.
b) - Considère que tu fais un tirage sans remise plutôt qu'un tirage simultané, les résultats ne changent pas et la compréhension est facilitée. On utilisera par la suite J=Jaune, R=Rouge, V=Verte.
Tu peux donc obtenir le résultat A de trois manières : JRR, RJR et RRJ
La probabilité d'obtenir le résultat A est donc de :
[tex]P(A)=P(JRR)+P(RJR)+P(RRJ)[/tex]
[tex]=\left( 0,3\times \frac { 5 }{ 9 } \times 0,5 \right) +\left( 0,5\times \frac { 3 }{ 9 } \times 0,5 \right) +\left( 0,5\times \frac { 4 }{ 9 } \times \frac { 3 }{ 8 } \right) [/tex]
[tex]=0,25[/tex]
Faire un arbre de probabilités facilitera la compréhension ici.
- De la même manière, la probabilité d'obtenir au moins une rouge peut se résumer en plusieurs autres probabilités dont il est facile de connaître le résultat.
On notera là un tiret - quand les tirages suivants n'ont pas d'importance (on a déjà une boule rouge).
On a : [tex]P(B)=P(R--)+P(JR-)+P(VR-)+P(JJR)+P(JVR)[/tex]
[tex]+P(VJR)+P(VVR)[/tex]
[tex]=\left( 0,5 \right) +\left( 0,3\times \frac { 5 }{ 9 } \right) +\left( 0,3\times \frac { 2 }{ 9 } \times \frac { 5 }{ 8 } \right) +\left( 0,3\times \frac { 2 }{ 9 } \times \frac { 5 }{ 8 } \right) +\left( 0,2\times \frac { 5 }{ 9 } \right) [/tex]
[tex]+\left( 0,2\times \frac { 3 }{ 9 } \times \frac { 5 }{ 8 } \right) +\left( 0,2\times \frac { 1 }{ 9 } \times \frac { 5 }{ 8 } \right) [/tex]
[tex]=\frac { 11 }{ 12 } [/tex] 

2 -
a) L'univers β2 associé à cette épreuve est le suivant : {verte;jaune;rouge}. Il s'agit des issues possibles, donc ici les issues différent seulement par la couleur.
N'ayant que 3 différentes issues possibles pour chaque boule, on a alors Card(β)=3.
b) Ici aussi un arbre de probabilité est utile, il ne faut juste pas oublier la remise.
- On a donc :
[tex]P(C)=P(JRR)=\left( 0,3\times 0,5\times 0,5 \right) =0,075[/tex]
- On peut obtenir 1 jaune ainsi que 2 rouges de trois manière différentes : JRR, RJR, et RRJ.
On a donc :
[tex]P(D)=P(JRR)+P(RJR)+P(RRJ)[/tex]
[tex]=\left( 0,3\times 0,5\times 0,5 \right) +\left( 0,5\times 0,3\times 0,5 \right) +\left( 0,5\times 0,5\times 0,3 \right) [/tex]
[tex]=0,225[/tex]

J'espère t'avoir aidé, n'hésite pas pour toute question.

Cersei Lannister
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