Bonjour.
Alors tu as :
1 - [tex]\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ g\left( x \right) } =+\infty [/tex] (le terme [tex] x^{2} [/tex] l'emporte sur les autres, il a l'exposant le plus haut).
Puis [tex]\lim _{ x\rightarrow -\infty }{ g\left( x \right) } =-\infty [/tex]
Enfin, [tex]\lim _{ x\rightarrow 2 }{ g\left( x \right) } =\pm \infty [/tex] (pour [tex]x=2[/tex], [tex]g(x)[/tex] est indéfinie.
Le caractère indéfini de [tex]g(x)[/tex] pour [tex]x=2[/tex] nous montre la présence d'une asymptote en droite d'équation [tex]x=2[/tex].
2 - On a [tex]g^{ ' }\left( x \right) =\frac { (2x-5)(x-2)-({ x }^{ 2 }-5x+7) }{ { \left( x-2 \right) }^{ 2 } } =\frac { { x }^{ 2 }-4x+3 }{ { \left( x-2 \right) }^{ 2 } } [/tex]
La fonction ci dessus est positive sur [tex]]-\infty ;1][/tex] et sur [tex][3;+\infty [[/tex]; elle est négative sur [tex][1;3][/tex]. Donc [tex]g(x)[/tex] est croissante sur [tex]]-\infty ;1][/tex], puis décroissante sur [tex][1;3][/tex], et enfin croissante sur [tex][3;+\infty [[/tex].
3 -
a) On a :
[tex]\frac { { x }^{ 2 }-5x+7 }{ x-2 } =\frac { (x-2)x-3x+7 }{ x-2 } =\frac { (x-2)x }{ x-2 } -\frac { 3(x-2) }{ x-2 } +\frac { 1 }{ x-2 } [/tex][tex]=x-3+\frac { 1 }{ x-2 } [/tex]
D'où a=1, b=-3 et c=1.
b) Donc [tex]g\left( x \right) -ax+b=\frac { { x }^{ 2 }-5x+7 }{ x-2 } -(x-3)=\frac { 1 }{ x-2 } [/tex].
Donc [tex]\lim _{ x\rightarrow +\infty }{ g\left( x \right) -ax+b } ={ 0 }^{ + }[/tex]
et [tex]\lim _{ x\rightarrow -\infty }{ g\left( x \right) -ax+b } ={ 0 }^{ - }[/tex]
c) On en déduit que nos observations énoncées à la question 1 se vérifient.
J'espère t'avoir aidé, n'hésite pas si tu as une question.
Cersei Lannister
