a) Si on se place dans le repère (B,BC,BA) alors les coordonnées de P,Q,R,S , O
sont P(0;4-x) Q(x;0) R(4;x) S(4-x;4) O(2;2)
Vecteur PQ(x;x-4)
Vecteur QR(4-x;x)
Vecteur RS(-x;4-x)
VecteurPS(4-x;x)
On calcule les produits scalaires PQ.QR=4x-x^2+x^2-4x=0
De même pour RS.PS=PS.PQ=QR.RS=0
Donc PQ orthogonal à QR orthogonal à RS orthogonal à SP
De+ 0 a pour abscisse 2 =xP+xR/2=xS+xQ/2
De même pour yO=yP+yR/2=yS+yQ/2
Donc O est le milieu de (PQRS) qui est bien un carré car a 4 angles droits
b)PQ^2=PB^2+BQ^2=(AB-x)^2+x^2=(4-x)^2+x^2=16+x^2-8x+x^2=2x^2-8x+16
Donc PQ=racine carrée de (2x^2-8x+16)
Aire de PQRS=PQ^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8
c)f(x)=2(x-2)^2+8
Donc f(x) suit les variations de (x-2)
Sur (0,2) f est décroissante
Sur (2,4) f est croissante
d) f(x) est minimale pour x=2 donc pour f(x)=8
Donc l'aire minimale=8cm^2
e)f(x) inf ou égale à 10
Donc 2x^2-8x+16 inf ou= à 10 2x^2-8x+6 inf ou = à 0
Donc 2(x^2-4x+3) inf ou = à 0
Donc x^2-4x+3 inf ou égale à 0
Donc (x-3)(x-1) inf ou = 0 Donc x appartient à l'intervalle fermé (1,3)
