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Aidez mwa s;il vous plait

Mr Dupond veut avoir une piscine de forme rectangulaire dans son jardin.
Il souhaite la construire en partie en dehors de la terasse donne AB= 8, AC= 16
AMNP schematise la mpartie de la piscine. On donne AD= 5
AMRD l’autre partie de la piscine. On donne AD= 5

A. Etude de differentes fonctions
On pose x= AM
On appelle f(x) l’aire du rectangle AMNP et g(x) l’aire du rectangle AMRD
1. Sur quelle intervalle x peut il varier ?
2. a.Determiner BM en fonction de x
b. Determiner MN en fonctiom de x
c. En deduire f(x) en fonction de x

3. Montrer que f(x)= -2(x-4)^2 +32 . Determiner algebriquement les antecedents eventuels de 32 par f. Quel resultats trouve t on ?
4. Justifier, que pour tout x, f(x) est inferieur ou egale a 32. Interpreter le resultat.

7. a) Determiner g(x) en fontion de x
b) Repersenter la fonction g sur un graphique
c) Pour quelles vqleurs de x la piscine occupe la meme aire sur la terrasse et sur la pelouse ?
d) Retrouver ce resultat en resolvant algebriquement une equation qu’on le precisera.
5. a) Exprimer en fonction de x, l’aire totale de la piscine totale A(x).
b) Pour quelle position de M telle que la piscine ait une surface maximale ?


Sagot :

Isapaul
Bonjour
Voir pièce jointe pour le schĂ©ma 
AB = 8 ; AC = 16 ; AD = 5  
AM = x 
1)
M est un point situé sur le segment AB donc
les valeurs de x sont comprises entre 0 et 8 mètres
2a)
BM = AB - AM = 8 - x 
b)
PA = AC - MN
D'après le thĂ©orème de Thalès 
PN / AB = PA / AC = (AC - MN) / AC  
x/8 = (16-MN)/16
MN = 16 - 2x 
c) 
Aire piscine sur terrasse AMNP = f(x) 
f(x) = AM * MN = x(16 - 2x) = -2x² + 16x 
3)
f(x) = -2(x - 4)²+32     en dĂ©veloppant 
f(x) = -2(x² - 8x + 16) + 32 
f(x) = -2x² - 16x -32 + 32
f(x) = -2x² - 16x    ce qu'il fallait dĂ©montrer 
4)
f(x) < 32 
-2(x-4)²+32 < 32  revient Ă 
-2(x-4)² < 0 
comme un carrĂ© est toujours POSITIF alors la ligne au-dessus est toujours vĂ©rifiĂ©e 
7a) 
Aire piscine en dehors de la terrasse = aire ADMR = g(x) 
g(x) = AD * AM = 5x 
b)
voir pièce jointe 
c)
f(x) = g(x) soit
-2x² + 16x = 5x 
-2x² + 11x = 0
x( -2x + 11) = 0     produit de facteurs est nul si un facteur est nul 
soit x = 0       soit  -2x + 11 = 0   pour x = -11/-2 = 11/2 = 5.5
5)
Aire totale piscine = f(x) + g(x) = -2x² + 16x + 5x = -2x² + 21x 
fonction de forme de ax² + bx + c
comme le terme "a" est nĂ©gatif alors on peut en dĂ©duire que l'Aire de la piscine sera maximale pour x = -b/2a = -21 / -4 = 21/4 = 5.25 
Aire maximale = -2(5.25)² + 21(5.25) = 55.125 m² 

Bonne journée
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