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Lloulette
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On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= √2.On appelle E le milieu de [BC] et K le point d’intersection de (AE) et (BD).

1. a) Calculer AE et BD.
    b) On veut démontrer de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
2. a) en utilisant le théorème de Thalès, calculer AK et BK.
    b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.  

Sagot :

1a) Par Pythagore :
AE²=AB²+BE²
BE=BC/2 car E est le milieu de BC donc
AE²=1²+BC²/4=1+2/4=3/2

BD²=BA²+AD²=1²+(√2)²=3 donc BD=√3

2)a)
 En utilisant Thalès, on a :
KB/KD=KE/KA=BE/AD
Donc BK=KD*BE/AD=KD*(√2/2)/√2=KD/2
Or KD=BD-BK=√3-BK
Donc 2*BK=√3-BK
<=> BK = √3/3 = 1/√3

De même, KA=KE*AD/BE=KE*√2/(√2/2)=2*KE
Or KE=AE-AK=√3/√2-AK
Donc AK=2√3/√2-2AK
D'ou 3AK=√3*√2 et AK=√2*√3/3=√2/√3

b) AB²=1
AK²=2/3
BK²=1/3
Donc AB²=AK²+BK²
D'après la réciproque de Pytahgore, ABK est rectangle en K
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