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Sagot :
Pour simplifier la rédaction, je note
Sn=1+2+3+...+n
Cn=1³+2³+3³+....+n³
On veut donc démontrer que Sn²=Cn
Sn est la somme des n premiers entiers naturels. On sait que cette somme vaut n(n+1)/2.
Donc Sn=n(n+1)/2
Démontrons par récurrence que Sn²=Cn
Pour n=1, on a S1=1 donc S1²=1=1³=C1
Pour n=2, on a S2=1+2=3 donc S2²=9=1+8=1³+2³=C2
C'est donc vérifié pour les premiers termes.
Supposons qu'au rang n-1, on ait :
Sn-1²=Cn-1
On a : Sn=Sn-1+n et Cn=Cn-1+n³
Sn²=(Sn-1+n)²=Sn-1²+2n*Sn-1+n²=Cn-1+2n*Sn-1+n²
Or Sn-1=(n-1)n/2
Donc 2n*Sn-1+n²=2n*n(n-1)/2+n²=n²(n-1)+n²=n³-n²+n²=n³
On a donc Sn²=Cn-1+n³=Cn
Donc quelque soit n :
(1+2+3+...+n)²=1³+2³+3³+....+n³
Sn=1+2+3+...+n
Cn=1³+2³+3³+....+n³
On veut donc démontrer que Sn²=Cn
Sn est la somme des n premiers entiers naturels. On sait que cette somme vaut n(n+1)/2.
Donc Sn=n(n+1)/2
Démontrons par récurrence que Sn²=Cn
Pour n=1, on a S1=1 donc S1²=1=1³=C1
Pour n=2, on a S2=1+2=3 donc S2²=9=1+8=1³+2³=C2
C'est donc vérifié pour les premiers termes.
Supposons qu'au rang n-1, on ait :
Sn-1²=Cn-1
On a : Sn=Sn-1+n et Cn=Cn-1+n³
Sn²=(Sn-1+n)²=Sn-1²+2n*Sn-1+n²=Cn-1+2n*Sn-1+n²
Or Sn-1=(n-1)n/2
Donc 2n*Sn-1+n²=2n*n(n-1)/2+n²=n²(n-1)+n²=n³-n²+n²=n³
On a donc Sn²=Cn-1+n³=Cn
Donc quelque soit n :
(1+2+3+...+n)²=1³+2³+3³+....+n³
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