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Soit u la suite définie pour tout entier n≥0 par Un=(n/n+1)²
1-Calculer U0, U1, U2.
2-Montrer que, pour tout n≥0, on a: 0≤ Un < 1.
3-Montrer que la suite u est croissante sur N.
4-En déduire en utilisant la calculatrice, le plus petit entier n tel que:
a. 1-Un<0,1.
b. 1-Un < 0,01

Sagot :

1) U0=(0/(0+1))²=0
U1=(1/(1+1))²=1/4=0,25
U2=(2/(2+1))²=4/9≈0,444444

2) On a 0≤n<n+1
⇔0≤n/(n+1)<1
⇔0≤Un<1

3)
[tex] \frac{ U_{n+1}}{U_{n}}=(\frac{n+2}{n+1})^{2}(\frac{n+1}{n})^{2}=(\frac{n+2}{n})^{2} [/tex]

donc
[tex] \frac{U_{n+1}}{U_{n}} \geq 1 [/tex]
donc quelque soit n Un+1≥Un ⇔ Un est croissante

4)a) U18≈0,8975
U19=0,9025
Donc n=19 est le plus petit entier tel que 1-Un<0,1

b) U198≈0,989975
U199=0,990025
Donc n=199 est le plus petit entier tel que 1-Un<0,01
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