Exercice 4 :
f(x)=2x²+x-6
1) f(x)=2(x²+x/2-3)=2(x²+4x/2-3x/2-3)=2(x(x+2)-3/2(x+2))=2(x+2)(x-3/2)
C'est la forme factorisée de f
f(x)=2(x²+x/2-3)=2(x²+2*x*1/4+1/16-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-1/16-3)
f(x)=2((x+1/4)²-49/16)=2(x+1/4)²-49/8
C'est la forme canonique de f
2) a) f(0) : on utilise la forme développée. f(0)=2*0²+0-6=-6
b) f(-1/4) : on utilise la forme canonique. f(-1/4)=2(-1/4+1/4)²-49/8=-49/8
c) f(x)=0. On utilise la forme factorisée.
f(x)=0
⇔2(x+2)(x-3/2)=0
⇔x+2=0 ou x-3/2=0
⇔x=-2 ou x=3/2
d) (x+1/4)² est ≥0 donc l'extrémum de f est -49/8 et il est atteint en x=-1/4
Exercice 5 :
2) Graphiquement, on détermine que (AB) : y=2/3*x+3
3) (BC) est de la forme y=ax+b
Elle passe par B donc :
-1=-6a+b donc b=6a-1
Elle passe par C donc :
-3=4a+b=4a+6a-1 soit 10a=-2 et a=-1/5
Donc b=-6/5-1=-11/5 et (BC) : y=-x/5-11/5
Le point D(0;-2) ne vérifie pas l'équation de (BC) car -2≠-0/5-11/5 donc D n'est pas aligné avec B et C.
4) On calcule AB, AC et BC
AB=√((-6-0)²+(-1-3)²)=√(36+16)=√52=2√13
AC=√((4-0)²+(-3-3)²)=√(16+36)=√52=2√13
BC=√((4-(-6))²+(-3-(-1))²)=√(100+4)=√104=2√26
AB=AC donc ABC est isocèle en A
5) Soit E(Xe;Ye)
E est le symétrique de C par rapport à A donc A est le milieu de EC :
Xa=(Xe+Xc)/2 et Ya=(Ye+Yc)/2 donc
Xe=2Xa-Xc=2*0-4=-4
et Ye=2Ya-Yc=2*3-(-3)=9
donc E(-4;9)
6) Δ est // à BC donc elle a même coefficient directeur que BC. Son équation réduit est de la forme y=-x/5+b
Elle passe par E donc 9=4/5+b et b=9-4/5=41/5
Donc Δ : y=-x/5+41/5
7) On cherche le point d'intersection de (AB) et Δ donc :
2/3*x+3=-x/5+41/5
⇔2/3*x+x/5=41/5-3
⇔10/15*x+3/15*x=26/5
⇔x=15/13*26/5=6
On en déduit y=2/3*6+3=7
Donc F(6;7)
8) On sait que (BC) // (EF)
CF a pour coordonnées (6-4;7-(-3)) soit (2;10)
BE a pour coordonnées (-4-(-6);9-(-1)) soit (2;10)
Donc CF=BE (en vecteur) donc (CF) // (BE)
BCFE a ses côtés parallèles 2 à 2 donc c'est un parallélogramme.
