Réponse :
produit de facteurs nuls
Explications étape par étape
1) les racines sont les abscisses où la fonction s'annule.
Donc il suffit de choisir x+2 et x-4, et de prendre le produit de ces 2 termes, pour avoir une fonction qui s'annule pour les valeurs -2 et 4
f(x) = a(x+2)(x-4) (le coefficient a peut être n'importe quelle valeur)
on nous dit f(0)=16 donc a(2)(-4) = 16, d'où a=-2
finalement on trouve f(x) = -2(x+2)(x-4)
on développe et on range les termes:
f(x)= -2x² +4x +16
2) il manque la question mais j'imagine que c'est de trouver a et c:
g(1) = a + c = 2
g(-2) = 4a + c = -4
on soustrait la 2eme ligne à la 1ere pour éliminer c, on trouve:
a-4a = 2 -(-4)
-3a = 6
a = -2
on injecte a=-2 dans la 1ere equation pour trouverc:
-2 + c = 2
c = 4
3) h(x) <0 <=> (x+3) et (x-4) sont de même signe:
1er cas: x+3 <0 ET x-4 <0 <=> x<-3 ET x<4 (donc x<-3)
2eme cas: x+3 >0 ET x-4 >0 <=> x>-3 ET x>4 (donc x>4)
Donc h(x) est négative pour x<-3 ou x>4 et positive sur ]-3;4[
k(x)>0 <=> (x+5) ET (x-3) sont de même signe.
1er cas: x+5 ET x-3 sont positifs:
x+5>0 <=> x > -5 et x-3>0 <=> x>3 (donc x>3)
2eme cas: x+5 ET x-3 sont négatifs:
x+5<0 <=> x < -5 et x-3<0 <=> x<3 (donc x<-5)
Donc k(x) est positive pour x<-5 et x>3, et k(x) est négative sur ]-5;3[
