Bonsoir,
[tex]\boxed{f'(x)=\frac{x^{2}-4x-5 }{(x^{2} +5)^{2} }}[/tex]
Tout d'abord, on défini le domaine de définition, pour cela le dénominateur doit être différent de 0 soit x² + 5 ≠ 0
déterminons les valeurs interdites :
x² + 5 = 0 ⇔ x² = - 5 or un carré est toujours positif donc Df = [tex]\Re[/tex]
étudions maintenant le signe du nominateur :
x² - 4x - 5 = 0
a = 1 b = -4 et c = -5
Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 × 1 × (-5) = 16 + 20 = 36
Δ > 0 ainsi l'équation admet 2 solutions :
[tex]x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{4-6}{2} =\frac{-2}{2} =-1[/tex]
[tex]x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{4+6}{2} =\frac{10}{2} =5[/tex]
a = 1 > 0 donc signe de a à l'intérieur des racines dans le tableau de signe :
x | - ∞ -1 5 +∞
f'(x) | + 0 - 0 +
