Bonsoir,
Ex 1
1)La fonction f est définie quand le terme sous la racine est strictement positif (car un radicande doit toujours être positif et s'il est nul, alors le dénominateur de l'écriture fractionnaire serait également nul ce qui est interdit).
On peut le factoriser : x²-25 = (x+5)(x-5). Puis on fait un tableau de signes, et on trouve
[tex]D_f = \left]-\infty ; -5\right[ \cup \left] 5 ; +\infty\right[[/tex]
2)Si a et b sont des réels appartenant à l'intervalle d'étude, avec a < b, on peut écrire :
[tex]5 < a < b \\
25 < a^2 < b^2\\
0 < a^2-25 < b^2-25\\
0 < \sqrt{a^2-25} < \sqrt{b^2-25}\\
\frac{1}{\sqrt{a^2-25}} > \frac{1}{\sqrt{b^2-25}}\\
\frac{-4}{\sqrt{a^2-25}} < \frac{-4}{\sqrt{b^2-25}}\\
\frac{-4}{\sqrt{a^2-25}} +2< \frac{-4}{\sqrt{b^2-25}}+2\\
f\left(a\right)< f\left(b\right)\\[/tex]
Ce qui termine la démonstration.
Ex 2
1)
On peut se ramener à deux cas différents.
Premier cas :
[tex]5x+7 = 3-2x\\
7x = -4\\
x = -\frac 47[/tex]
Second cas :
[tex]5x+7 = 2x-3\\
3x = -10\\
x = -\frac{10}{3}[/tex]
D'où
[tex]S = \left\{-\frac{10}{3} ; -\frac 47\right\}[/tex]
2)
Il faut réaliser un tableau de signes pour les contenus des différentes valeurs absolues puis raisonner par disjonction de cas.
On sait que 2x-3 est positif quand x > 3/2 et 5-x est positif quand x < 5. On peut donc résoudre sur plusieurs intervalles.
Quand x ≤ 3/2
Cela revient à écrire :
[tex]3-2x -3\left(5-x\right) < 0\\
3-2x -15+3x < 0\\
x -12 < 0\\
x < 12\\
S_1 = \left] -\infty ; 12\right[ \cap \left]-\infty ; \frac 32\right] = \left]-\infty ; \frac 32\right][/tex]
Quand 3/2 ≤ x ≤ 5
[tex]2x-3-3\left(5-x\right) <0\\
2x-3-15+3x < 0\\
5x-18 <0\\
x < \frac{18}{5}\\
S_2 = \left[\frac 32 ; 5\right] \cap \left]-\infty ; \frac {18}{5}\right] = \left[\frac 32 ; \frac{18}{5}\right[[/tex]
Quand x > 5
[tex]2x-3-3\left(x-5\right) <0\\
2x-3-3x+15 < 0\\
-x+12 < 0\\
x > -12\\
S_3 = \left]-12;+\infty \right[ \cap \left[5 ; +\infty\right[ = \left[5;+\infty\right[[/tex]
On a donc
[tex]S = S_1\cup S_2\cup S_3 = \left]-\infty;\frac{18}{5}\right[ \cup \left[5;+\infty\right[[/tex]
Ex 3
1)Il faut développer cette expression. On trouve que (b-a)(b²+ab+a²) = a³-b³
2)
[tex]\forall \left(a,b\right)\in \mathbb R ^2,\\
g\left(b\right)-g\left(a\right) = b^3+2b-5-a^3-2a+5\\
g\left(b\right)-g\left(a\right) =b^3-a^3+2\left(b-a\right)\\
g\left(b\right)-g\left(a\right) =\left(b-a\right)\left(b^2+ab+a^2\right)+2\left(b-a\right)\\
g\left(b\right)-g\left(a\right) =\left(b-a\right)\left(b^2+ab+a^2+2\right)[/tex]
3)
On suppose a < b
a)
Si a et b sont négatifs :
On a donc :
g(b)-g(a) = (b-a)(b²+ab+a²+2).
b-a est strictement positif car a < b
b²+ab+a²+2 est une somme de nombres positifs qui est toujours positive.
Donc g(b)-g(a) >0 , g(b) > g(a). Comme b > a, g est croissante sur R-.
b)Si a et b sont positifs :
b-a est positif et b²+ab+a²+2 est strictement positif. Donc g(b)-g(a) > 0 et g est strictement croissante sur l'intervalle.
4)Comme ces deux intervalles ont un point commun (0), on en déduit que g est strictement croissante sur R.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
