Partie B
1) L'aire de ABC est 1/2*5*5=25/2
2a) Chaque triangle numéroté 2 a une aire égal au quart de l'aire du triangle numéroté 1. (Tu peux très facilement le démontrer en utilisant thalès si tu en as besoin).
D'une manière générale, l'aire d'un triangle numéroté n est 1/4*l'aire d'un triangle numéroté n-1
Cette aire est donc [tex] \frac{25}{2^{(2n+1)}} [/tex]
On a donc a1=25/8
On a par ailleurs 3 fois plus de triangles numéroté n que de triangles numérotés n-1
D'une manière général, il y a 3^(n-1) triangles numérotés n
Un triangle numéroté 2 a une aire de 25/32 et il y a 3 triangles n°2
Donc a2-a1=3*25/32
D'autre par 25/2-a1=25/2-25/8=3*25/8
donc (a2-a1)/(25/2-a1)=(3*25/32)/(3*25/8)=8/32=1/4
2b) En utilisant le a) on a :
3^(3-1)=9 triangles numérotés 3 et leur aire est 25/2^7=25/128
Donc a3-a2=9*25/128
L'aire non numéroté à l'étape 2 est composé de 9 triangles ayant la même aire qu'un triangle n°2
Donc 25/2-a2=9*25/32
et (a3-a2)/(25/2-a2)=(9*25/128)/(9*25/32)=32/128=1/4
3) an+1-an représente l'aire des triangles n°n. Il y a 3^(n-1) triangle n°n d'aire 25/2^(2n+1)
25/2-an représente l'aire restante qui est composée de 3^(n1) triangles d'aire 25/2^(2n-1)
Donc (an+1-an)/(25/2-an)=(3^(n-1)*25/2^(2n+1))/(3^(n-1)*25/2^(2n-1))
(an+1-an)/(25/2-an)=2^(2n-1)/2^(2n+1)=1/4
Donc an+1-an=25/2*1/4-an/4
an+1=25/8+an-an/4
an+1=3/4*an+25/8
4) En utilisant la partie A, tu peux donc conjecturer que an tend vers 25/2
