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Bonjour quelqun peut m’aider s’il vous plaît :)

La bactérie E. Coli pourrait
permettre de produire du bio-carburant par modification
génétique. L'expérimentation
montre que dans un milieu
nutritif optimisé, la masse
de bactéries augmente de 20 % par jour. On démarre la production avec 1 kilogramme de bactéries. Chaque jour,à heure fixe, on remplace le milieu nutritif et on prélève un
échantillon de bactéries pour suivre la modification génétique. Ces opérations retirent 100 grammes de bactéries de la cuve. On souhaite produire 30 kilogrammes de bactéries.

1. On modélise l'évolution de la population de bactéries par
une suite u(n) telle que pour tout entier naturel n, u(n), est la masse de bactéries en grammes n jours après le début de
l'expérimentation

a. Donner u(0)

b. Exprimer u(n+1) en fonction de u, pour tout entier naturel n.

2. Écrire une fonction Python retournant le nombre de jours
nécessaires pour atteindre l'objectif.

3. Pour tout entier naturel n, on pose v(n)= u(n)- 500.

a. Montrer que v(n) est une suite géométrique.

b. Exprimer v(n), puis u(n), en fonction de n.

c. Conjecturer la limite de u(n).

Le modèle choisi vous paraît-il réaliste ?

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

1 Kg = 1000 g

Augmentation de 20% par jour ===> coefficient multiplicateur = 1.20

on retire 100 g par jour

1a) U0 = 1000 g

1b)

[tex]U_{n+1} = U_{n} * 1.21 -100[/tex]

2)

3) on pose  Vn = Un -500

a) Montrer que la suite est géométrique

Vn+1 = Un+1-500 = (Un*1.20-100) - 500 =  Un*1.20-600 =

1.20( Un-500) = 1.2 Vn

Vn est une suite géométrique de premier terme V0 = U0-500 = 500

et de raison q= 1.20

b)

Vn = 500x[tex]1.20^{n}[/tex]

Vn = Un-500 ==> Un = Vn + 500  

Un = 500x[tex]1.20^{n}[/tex] + 500 = 500( [tex]1.20^{n}[/tex] + 1)

c) limite

n ----->+inf     Un----> +inf

Pas réaliste, ne tient pas compte de la durée de vie des bactéries

30 Kg atteint vers le 23ème jour

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