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Réponse :
salut
f(x)= (x^3/6)-x+(8/3)
1) la dérivée
f'(x)= (3x²/6)-1
= (x²-2)/2
on résout x²-2=0
x= -racine(2) et x=racine(2)
x= -1.41 ou x=1.41
tableau ( signe de a sauf entre les racines)
x -oo -1.41 1.41 +oo
f '(x) + 0 - 0 +
(reste à mettre les flèches et les valeurs)
2) tangente au point d'abscisse 2
f(2)= 2 f ' (2)=1 ( f'(a)(x-a)+f(a)
1(x-2)+2 = x
la tangente à pour équation y=x
pour étudier la position relative de la droite et de la courbe il faut
faire f(x)-x
(x^3/6)-x+(8/3)-x
= (x^3-12x+16)/6
x^3-12x+16 s'annule en 2 donc factorisable par
(x-2)(ax²+bx+c)
on développe
ax^3-2ax²+bx²-2bx+cx-2c
on range
ax^3+(-2a+b)x²+(-2b+c)x-2c
identification des coefficients
ax^3+(-2a+b)x²+(-2b+c)x-2c= x^3-12x+16
a=1
-2a+b=0
-2b+c=-12
-2c=16
a=1 , b=2 , c=-8
x^3-12x+16= (x-2)(x²+2x-8)
on résout
x²+2x-8=0
delta>0 2 solutions x1= -4 et x2=2
x^3-12x+16= (x-2)(x+4)(x-2)
tableau de signe
x -oo -4 2 +oo
x+4 - 0 + +
x-2 - - 0 +
x-2 - - 0 +
expr - 0 + 0 +
f < T de ] -4 ; +oo]
f > T de [-oo ; -4 ]
Explications étape par étape