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Sagot :
Ex 92 :
1a) x<3
⇔-x>-3
⇔6-x>3
⇔1/(6-x)<1/3
⇔9/(6-x)<3
1b) Uo<3 donc c'est vérifié pour n=0
Supposons que Un<3, alors d'après a) f(Un)<3 donc Un+1<3
Donc quelque soit n, Un<3
1c) Un+1-Un=9/(6-Un)-Un=(9-6Un+Un²)/(6-Un)=(Un-3)²/(6-Un)
(Un-3)²>0
Comme Un<3, 6-Un>0 donc Un+1-Un>0
Un est croissante
1d) Un est croissante et majorée donc elle converge.
2a) Vn+1-Vn=1/(Un+1-3)-1/(Un-3)
Un+1-3=9/(6-Un)-3=(9-18+3Un)/(6-Un)=3(Un-3)/(6-Un)
Donc
Vn+1-Vn=(6-un)/(3(Un-3))-1/(Un-3)=(6-Un-3)/(3(Un-3))=(3-Un)/(3(Un-3))=-1/3
Donc Vn est arithmétique.
2b) Vo=1/(Uo-3)=1/(-3-3)=-1/6
Donc Vn=-1/6-n/3
On a donc 1/(Un-3)=-(2n+1)/6
⇔Un-3=-6/(2n+1)
⇔Un=3-6/(2n+1)
⇔Un=(6n-3)/(2n+1)
2c) Quand n tend vers +oo, 6n-3 Ă©quivaut Ă 6n et 2n+1 Ă©quivaut Ă 2n.
Donc Un Ă©quivaut Ă 6n/2n=3
LimUn=3
Ex118
1) U1=-1/3*3-5=-1-5=-6
U2=-1/3*6-5=-2-5=-7
2) Pour n=0, (27/4)*(-1/3)^0-15/4=27/4-15/4=12/4=3=Uo
Donc c'est vrai pour n=0
Supposons qu'au rang n on ait :
Un=(27/4)*(-1/3)^n-15/4
⇔-1/3*Un=(27/4)*(-1/3)^(n+1)+5/4
⇔1/3*Un-5=(27/4)*(-1/3)^(n+1)+5/4-5=(27/4)*(-1/3)^(n+1)-15/4
⇔Un+1=(27/4)*(-1/3)^(n+1)-15/4
donc quelque soit n, Un=(27/4)*(-1/3)^n-15/4
3) Quand n tend vers +oo, (-1/3)^n vers vers 0, donc Un converge vers -15/4.
1a) x<3
⇔-x>-3
⇔6-x>3
⇔1/(6-x)<1/3
⇔9/(6-x)<3
1b) Uo<3 donc c'est vérifié pour n=0
Supposons que Un<3, alors d'après a) f(Un)<3 donc Un+1<3
Donc quelque soit n, Un<3
1c) Un+1-Un=9/(6-Un)-Un=(9-6Un+Un²)/(6-Un)=(Un-3)²/(6-Un)
(Un-3)²>0
Comme Un<3, 6-Un>0 donc Un+1-Un>0
Un est croissante
1d) Un est croissante et majorée donc elle converge.
2a) Vn+1-Vn=1/(Un+1-3)-1/(Un-3)
Un+1-3=9/(6-Un)-3=(9-18+3Un)/(6-Un)=3(Un-3)/(6-Un)
Donc
Vn+1-Vn=(6-un)/(3(Un-3))-1/(Un-3)=(6-Un-3)/(3(Un-3))=(3-Un)/(3(Un-3))=-1/3
Donc Vn est arithmétique.
2b) Vo=1/(Uo-3)=1/(-3-3)=-1/6
Donc Vn=-1/6-n/3
On a donc 1/(Un-3)=-(2n+1)/6
⇔Un-3=-6/(2n+1)
⇔Un=3-6/(2n+1)
⇔Un=(6n-3)/(2n+1)
2c) Quand n tend vers +oo, 6n-3 Ă©quivaut Ă 6n et 2n+1 Ă©quivaut Ă 2n.
Donc Un Ă©quivaut Ă 6n/2n=3
LimUn=3
Ex118
1) U1=-1/3*3-5=-1-5=-6
U2=-1/3*6-5=-2-5=-7
2) Pour n=0, (27/4)*(-1/3)^0-15/4=27/4-15/4=12/4=3=Uo
Donc c'est vrai pour n=0
Supposons qu'au rang n on ait :
Un=(27/4)*(-1/3)^n-15/4
⇔-1/3*Un=(27/4)*(-1/3)^(n+1)+5/4
⇔1/3*Un-5=(27/4)*(-1/3)^(n+1)+5/4-5=(27/4)*(-1/3)^(n+1)-15/4
⇔Un+1=(27/4)*(-1/3)^(n+1)-15/4
donc quelque soit n, Un=(27/4)*(-1/3)^n-15/4
3) Quand n tend vers +oo, (-1/3)^n vers vers 0, donc Un converge vers -15/4.
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