Exercice 2
L'algorithme se traduit mathématiquement de cette façon :
Pour tout x de R , a = -x donc si a ≥ 1 alors -x ≥ 1 ⇒ x ≤ 1 ; si a < 1 alors -x < 1 ⇒ x > 1.
Pour tout x ∈ ]-∞ ; 1], b = 1/(a+2)
Pour tout a ∈ ]1; +∞], b = 2 + 1/(a - 2)
On pose y = a - b donc y = -x - b
##fin de l'algorithme
1) y = f(x) donc f(x) = -x - b
a. L'image de 0 par f est revient à dire qu'on remplace x par 0 dans la fonction f(x) :
f(0) = -0 - b = -b
x = 0 donc x ≤ 1 donc :
b = 1/(a + 2)
Or a = -x = 0 donc b = 1/2
f(0) = - b donc f(0) = -1/2.
L'image de 0 par f donne -1/2
b. f(1) = - 1 - b
x = 1 donc x ≤ 1 et :
b = 2 + 1/ (a - 2)
Or a = -x = -1 donc
b= 2 + 1/(-1 - 2) = 2 + 1/3 = 7/3
f(1) = -b donc f(1) = -7/3
L'image de 1 par f donne -7/3
c. f(-2) = - 2 - b
x = -2 donc x ≤ 1 et :
b = 1/ (a + 2)
Or a = -x = 2 donc
b= 1/(2 + 2) = 1/4
f(1) = -b donc f(-2) = -1/4
L'image de -2 par f donne -1/4
2) L'expression algébrique de l'algorithme est :
Pour tout x ∈ R, f(x) = -x - b
Exercice 3
Pour tout x ∈ R, f(x) = 2x² - 7x - 4
1. f(0) = 2 x 0 - 7 x 0 - 4 = - 4
f(√3) = 2(√3)² - 7√3 - 4
f(√3) = 6 - 4 - 7√3 = 2 - 7√3
f(-1) = 2x(-1)² - 7x(-1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5
2. A appartient à la courbe Cf si et seulement si f(-2) = 18
Calculons f(-2)
f(-2) = 2 x(-2)² - 7 x (-2) - 4
f(-2) = 8 + 14 - 4 = 18 donc A appartient à Cf
3. Calculer les antécédents de -4 par f revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles f(x) = -4
2x² - 7x - 4 = -4 ⇔ 2x² -7x = 0
⇔ x(2x - 7) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des 2 facteurs est nul donc
x = 0 ou 2x - 7 = 0
x = 0 ou x = 7/2
Les antécédents de -4 par f sont 0 ou 7/2
4. (2x + 1)(x - 4) = 2x² - 8x + x - 4 = 2x² - 7x - 4
donc (2x + 1)(x - 4) = f(x).
Calculer les antécédents de -4 par f revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.
(2x + 1)(x - 4) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 ou x - 4 = 0
2x = - 1 ou x = 4
x = -1/2 ou x = 4
Les antécédents de 0 par f sont -1/2 ou 4
