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Dans un repère orthornormé , on donne les point J(0;1) et A (5;4), M est un point de l'axe des abscisses .
a) Existe-t-il des positions du point M pour lesquelles le triangle JMA est rectangle en M ? Si oui , on donnera ses positions exactes.
b) Comment aurait-on pu repondre géométriquement à cette question sans calcul ?
u as un triangle ABM qui doit être rectangle ! en général ; " pour vérifier qu'un triangle est rectangle ; il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore !"
on nous a donné les coordonnées des points ; donc on cherchera les mesures de côtés et on vérifiera le théorème de Pythagore !
la mesure de la distance de deux points A(xa ; ya) et B(xb ; yb) connaissant les coordonnées de ces points est donnée par : AB ² = (xa - xb)² + (yb - ya)²
donc les mesures des trois côtés seront :
AB² = (7 - 3)² + (2 + 2)²
= 4² + 4²
= 32
puis :
AM² = (4 - 3)² + (m + 2)²
= 1 + (m + 2)²
et
BM² = (4 - 7)² + (m - 2)²
= 9 + (m - 2)²
donc :
1èr cas : Pour que le triangle ABM soit rectangle en M :
AM² + BM² = 1 + (m + 2)² + 9 + (m - 2)²
= 1 + 9 + (m + 2)² + (m - 2)²
= 10 + m² + 4 + 4m + m² + 4 - 4m
= 18 + 2m²
et donc ce résultat devrait être égal à AB² :
18 + 2m² = 32
2m² = 32 - 18
m² = 14/2
m = racine carrée de 7
donc le point M devrait avoir comme coordonnées : M(4 ; racine carrée de 7)
2ème : le triangle ABM est rectangle en B :
AB² + BM² = AM²
32 + 9 + (m - 2)² = 1 + (m + 2)²
41 + m² + 2² - 4m = 1 + m² + 4 + 4m
m² - 4m + 45 - 1 - m² - 4 - 4m = 0
m² - m² - 4m - 4m + 45 - 1 - 4 = 0
-8m + 40 = 0
8m = 40
m = 40/8
m = 5
donc le point M aura pour coordonnées : M(4 ; 5)
3ème cas : ABM est un triangle rectangle en A :
AM² + AB² = BM²
1 + (m + 2)² + 32 = 9 + (m - 2)²
1 + m² + 4 + 4m + 32 = 9 + m² + 4 - 4m
m² + 4m + 37 = m² - 4m + 13
m² + 4m + 37 - m² + 4m - 13 = 0
m² - m² + 4m + 4m + 37 - 13 = 0
8m + 24 = 0
8m = -24
m = -24/8
m = -3
donc les coordonnées de M devraient être : M(4 ; -3)
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