Bonjour,
Première chose à faire: exprimer l'aire et le périmètre de ce rectangle:
Soient a et b les longueurs et largeurs de ce rectangle:
Périmètre: 2(a+b) = 28
→ 2a + 2b = 28
Aire: a×b = ? → On ne connait pas l'aire de ce rectangle donc pas possible de l'exprimer.
Cependant; on sait qu'un rectangle correspond à la somme de deux triangles rectangles.
De plus si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle; son hypoténuse est en fait le diamètre du cercle dans lequel il est inscrit.
On sait que rayon(cercle) = 5 donc diamètre(cercle) = 10.
Nous somme dans un triangle rectangle; nous pouvons alors utiliser le Théorème de Pythagore:
a² + b² = 10²
a² + b² = 100
On a précédemment exprimé le périmètre de ce rectangle: 2a + 2b = 28
On peut ainsi dire que: a + b = 14
A partir de là nous pouvons écrire:
14² = (x+y)² = x² + 2xy + y²
→ 14² = x² + y² + 2xy
14² = 100 + 2ab
2ab = 14² - 100
2ab = 196 - 100
2ab = 96
ab = 96/2
ab = 48 → On a maintenant exprimé l'aire du rectangle en fonction de a et b.
De là on se retrouve avec un système qui nous permettra de trouver les valeurs de a et b:
[tex]\begin{cases}a+b = 14\\ab=48\end{cases}\\\\ \begin{cases}a=14-b\\ab=48\end{cases}\\[/tex]
On résout donc:
[tex]\\(14-b)b=48\\ 14b - b^2 = 48\\ 14b - b^2-48=0\\ -b^2+14b-48=0\\ -b^2+8b+6b-48=0\\ -b(b-8) + 6(b-8)=0\\ (-b+6)(b-8) = 0\\ b = 6 \quad ou \quad b = 8[/tex]
Si b = 6:
[tex]a = 14 - 6 = 8[/tex]
Si b = 8:
[tex]a = 14 - 8 = 6 [/tex]
Les couples de solutions sont alors:
[tex](a_1, b_1) = (6,8)\\ (a_2,b_2) = (8,6)[/tex]
→ La réponse est donc oui, mais uniquement avec les côtes trouvées.
