L'aire de MNKL est égal à :
Aire de AND - Aire de AKM - Aire de MLD
Aire de AND=1/2*AD*Hauteur
La hauteur de AND est le segment perpendiculaire à BC passant par N donc la hauteur est égal au côté du carré.
Donc Aire de AND=1/2*1*1=1/2
Aire de AKM :
La base est AM=1/2
Notons E, le pied de la hauteur issue de K dans le triangle AKM et F le pied de la hauteur issue de K dans le triangle BKN. Les points E, K et F sont alignés.
Comme AM//BN, on applique le théorème de Thalès dans les triangles croisés AKM et BKN :
AM/BN=KE/KF
AM/BN=(1/2)/(3/4)=2/3
Donc KE/KF=2/3 soit KE=2KF/3
Or KE+KF=1 soit 2KF/3+KF=1 d'où 5/3*KF=1 et KF=3/5
On en déduit que KE=1-3/5=2/5
Donc Aire de AKM=1/2*AM*KE=1/2*1/2*2/5=1/10
Aire de MLD :
La base est DM=1/2
Notons I, le pied de la hauteur
issue de L dans le triangle MLD et J le pied de la hauteur issue de L
dans le triangle CLN. Les points I, L et J sont alignés.
Comme DM//CN, on applique le théorème de Thalès dans les triangles croisés MLD et CLN :
DM/CN=LI/LJ
DM/CN=(1/2)/(1/4)=2
Donc LI/LJ=2 soit LI=2LJ
Or LI+LJ=1 soit 2LJ+LJ=1 d'où 3LJ=1 et LJ=1/3
On en déduit que LI=1-1/3=2/3
Donc Aire de MLD=1/2*DM*LI=1/2*1/2*2/3=1/6
Donc Aire de MNKL=1/2-1/10-1/6=15/30-3/30-5/30=7/30
