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Sagot :
Bonjour,
démontrons que par récurrence que Un>0
U0>0
supposons Un>0
3^n>0
donc Un/3^n>0
donc U(n+1)>0
donc Un>0
donc Un est minorée par 0
démontrons que Un est décroissante
On va étudier le signe de Un-U(n+1)
Un-U(n+1)=Un-Un/3^n
=Un(1-1/3^n)
0<=(1/3)^n<1
donc (1-1/3^n)>=0
or Un>0
donc Un(1-1/3^n)>=0
donc Un-U(n+1)>=0
Donc Un>=U(n+1)
Donc Un est décroissante.
et Un est minorée
Donc Un est convergente
démontrons que par récurrence que Un>0
U0>0
supposons Un>0
3^n>0
donc Un/3^n>0
donc U(n+1)>0
donc Un>0
donc Un est minorée par 0
démontrons que Un est décroissante
On va étudier le signe de Un-U(n+1)
Un-U(n+1)=Un-Un/3^n
=Un(1-1/3^n)
0<=(1/3)^n<1
donc (1-1/3^n)>=0
or Un>0
donc Un(1-1/3^n)>=0
donc Un-U(n+1)>=0
Donc Un>=U(n+1)
Donc Un est décroissante.
et Un est minorée
Donc Un est convergente
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