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Sagot :
A)1) Si p est impair, p est de la forme p=2k+1 avec k entier
donc a=(p+1)/2=(2k+2)/2=k+1 est un entier
et b=(p-1)/2=2k/2=k est un entier
2) a²-b²=(p+1)²/4-(p-1)²/4=1/4*(p²+2p+1-p²+2p-1)=4p/4=p
3) a=3 donc (p+1)/2=3 soit p+1=6 et p=5
et b=(5-1)/2=3
4) si p=23=a²-b²
a=(23+1)/2=12 et b=(23-1)/2=11
Donc 23=12²-11²
5) a²+b²=1/4(p²+2p+1+p²-2p+1)=1/4*(2p²+2)=(p²+1)/2
6) On pose (p²+1)/2=61 soit p²+1=122 et p²=121
Donc p=11
donc a=6 et b=5 donc 6²+5²=61
Exercice 2 :
S'il y a x rangées, il y a x² légionnaires.
Avec 3 rangées de plus, il y a (x+3)² légionnaires
Donc x²+63=(x+3)²
Soit x²+6x+9=x²+63
Donc 6x=54 et x=9
Donc il y a 9²=81 hommes dans la compagnie de Brutus.
donc a=(p+1)/2=(2k+2)/2=k+1 est un entier
et b=(p-1)/2=2k/2=k est un entier
2) a²-b²=(p+1)²/4-(p-1)²/4=1/4*(p²+2p+1-p²+2p-1)=4p/4=p
3) a=3 donc (p+1)/2=3 soit p+1=6 et p=5
et b=(5-1)/2=3
4) si p=23=a²-b²
a=(23+1)/2=12 et b=(23-1)/2=11
Donc 23=12²-11²
5) a²+b²=1/4(p²+2p+1+p²-2p+1)=1/4*(2p²+2)=(p²+1)/2
6) On pose (p²+1)/2=61 soit p²+1=122 et p²=121
Donc p=11
donc a=6 et b=5 donc 6²+5²=61
Exercice 2 :
S'il y a x rangées, il y a x² légionnaires.
Avec 3 rangées de plus, il y a (x+3)² légionnaires
Donc x²+63=(x+3)²
Soit x²+6x+9=x²+63
Donc 6x=54 et x=9
Donc il y a 9²=81 hommes dans la compagnie de Brutus.
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