Les couples (X;Y) avec X et Y entiers possibles sont:
(42;3024)
(84;1512)
(126;1008)
(168;756)
(252;504)
(336;378)
(504;252)
(756;168)
(1008;126)
(1512;84)
(3024;42)
Justification:
Soit X et Y deux entiers naturels tels que X*Y=127008
Or on sait que X et Y ont un PGCD égal à 42 donc on pose:
X = x*42 et Y=y*42
Ainsi
x*42*y*42= 127008
⇔x*y = [tex] \frac{127008}{42*42} [/tex]
⇔x*y = 72
On cherche toutes les valeurs possibles de x et y pour x*y = 72 et on obtient:
1*72=72 9*8=72
2*36=72 12*6=72
3*24=72 18*4 = 72
4*18=72 24*3=72
6*12=72 36*2=72
8*9=72 72*1 = 72
On retrouve alors les valeurs de X et Y:
X= x*42
⇔X = 1*42 = 42
ou X = 2*42 = 84
ou X = 3*42 = 126
ou X = 4*42 = 168
ou X = 6*42 = 252
ou X = 8*42 = 336
ou X = 9*42 = 378
ou X = 12*42 = 504
ou X = 18*42 = 756
ou X = 24*42 = 1008
ou X = 36*42 = 1512
ou X = 72*42 = 3024
Les valeurs de Y sont les mêmes. Seulement elles sont inversées par rapport à X de sorte à ce que X*Y=127008.
Les solutions sont donc toutes celles énoncées au début.
