PAMN rectangle donc (PA)//(MN). Par hypothèse P∈[CA] donc (CA)//(MN).
Dans le triangle ABC on peut donc appliquer Thales.
[BM]/[BA]=[MN]/[CA]⇔([CA][BM])/[BA]=[MN]⇔[MN]=5x/15=x/3cm
f est une parabole donc de la forme y=ax²+bx+c où a,b,c sont des coefficients à déterminer.
D'après le tableau de valeur et la courbe de f:
f(0)=0
f(0)=0⇔0=a×0+b×0+c⇔c=0
donc f est de la forme y=ax²+bx
f(6)=18⇔18=36a+6b⇔3=6a+b (1)
f(12)=12⇔12=144a+12b⇔1=12a+b (2)
il suffit de résoudre le système formé par les équations (1) et (2) pour trouver a et b
1=12a+b⇔b=1-12a
3=6a+1-12a⇔2=-6a⇔a=-1/3
b=1-12a⇔b=1+12/3⇔b=5
donc f(x)=5x-x²/3
d'après le tableau f(x)=18⇔x=6 ou x=9 donc les antécédents sont 6 et 9
f(4)=f(11)=14.667 d'après le tableau
f(x)=0⇔x(5-x/3)=0⇔x=0 ou 5-x/3=0⇔x=0 ou x=15 donc les antécédents sont 0 et 15. Ces deux valeurs sont également vérifiées par la courbe où f(0)=0 et f(15)=0
Les questions montrent que nous avons une parabole (fonction de x²) car une valeur de f a plusieurs antécédents. Elles montrent que cette parabole coupe l'axe des x en 0 et 15 puisque f(0)=0 et f(15)=0. Puisque f(6)=f(9)=18 et f(4)=f(11)=14.667f est une fonction d'abord croissante, puis décroissante.
