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Merci beaucoup de m’aider à résoudre cet exercice :
Soit f et g deux fonctions définies sur] 0 ;+∞ [ par f(x) = ln(x) et g(x) = (2/e)√x.
Soit la fonction h définie sur ]0 ;∞[ par h(x) = g(x) – f(x).
1.calculer h(1).
2.montrer que h’(x) = (e-√x)/(ex√x) sur ]0 ;+∞ [
3.construire le tableau de signes de h’ et le tableau de variations de h.
4.en déduire le maximum de la fonction h sur ]0 : +∞[.
Soit F et G les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par F(x) = xln(x) – x et G(x) =(4/3e)(x√x).
5.montrer que F et G sont deux primitives de f et g.
6.en déduire ∫_1^e²▒〖g(x)〗 – [f(x)]dx.

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ h(x) = (2/e)√x - Lnx sur IR+* .

■ h(1) = 2/e .

■ dérivée h ' (x) = 1/(e√x) - 1/x = (x-e√x) / (xe√x)

   cette dérivée est positive pour x-e√x > 0

                                                       √x - e > 0

                                                             √x > e

                                                                x > e²

■ tableau :

    x -->     1         5         e²      15      +∞

h ' (x) ->               -          0        +

 h(x) --> 2/e     0,04      0      0,14

■ Minimum ( e² ; 0 ) .

■ F(x) = xLnx - x donne F ' (x) = Lnx + 1 - 1 = Lnx = f(x)

   G(x) = (4/3e) (x√x) donne G ' (x) = (2/e) √x = g(x) .

■ on s' intéresse à la Surface comprise entre la courbe

   et l' axe des abscisses pour 1 ≤ x ≤ e² :

   Surface = (4/3e) e³ - e² - (4/3e) - 1 = e²/3 - (4/3e) - 1 ≈ 0,97 .

■ vérif :

   la Surface étudiée est inférieure à celle du triangle

   de hauteur 2/e et de base (e² - 1)

   Surface du triangle = (e² - 1) * 1/e = e - 1/e ≈ 2,35

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