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Souzay
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bonjour je n'arrive pas à faire ce problème je pensais avoir trouve la 1) mais finalement j'ai faux à la 2) ... merci d'avance pour votre aide
Un fabricant d'emballages doit créer des boîtes en carton de la forme d'un pavé droit
(ou parallélépipède rectangle ) : leur base doit être un rectangle dont la longueur est
le double de la largeur, et leur contenance doit être de 1125 cm3
Le fabricant cherche les dimensions qui permettent d'utiliser le moins de carton
possible, c'est-à-dire pour lesquelles la surface totale de la boîte est minimale.
On note x la largeur en cm de la base, et y la hauteur en cm de la boîte, avec 4 <x<16.
1) Exprimer y en fonction de x.
2) En déduire que l'aire totale de la boîte, exprimée en fonction de x, s'écrit: À(x) =4x**2+3375/x

3) Montrer que, pour tout réel x de [4; 16) on a :
A's(x) =(2x - 15)(4x**2 + 30x + 225)/x**2


Etudier le signe de A'(x) et construire le tableau de variations de la fonction A sur [4; 16).

En déduire les dimensions choisies par le fabricant, et l'aire de carton nécessaire pour la fabrication d'une boîte

merci beaucoup pour votre aide ​

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

1) boîte pavé droit:  largeur:x  longueur:2x hauteur :y et volume:1125cm^3

V(pavé)= aire de base  X hauteur  donc L x l X h

     V =x X 2x X y  et V =1125   d'où  2x^2 X y  = 1125      y = 1125/2x^2

2)Aire totale de la boîte:aire latérale + aire des 2 bases

   A(x)= périmètre base X h   +  2X aire base rectangle

  A(x)   =   ( x + 2x )     X   1125/2x^2  + 2 X x X 2x

 A(x)    =              3x  X  1125/2x^2     +4 x^2  on simplifie par x le quotient

    A (x)=       3 X 1125/x + 4x^2

   A(x)=     4x^2  +  3375/ x

3)  A'(x)= 8x^2 - 3375/ x^2=(8x^3 - 3375) /x^2 ; réduction mmdénominateur:x^2

calculons (2x - 15)( 4x^2  + 30x + 225) / x^2

(8x^3 + 60x^2 + 450x - 60x^2 -450x -3375 ) / x^2

                 ( 8x^3 - 3375)/ x^2 on retrouve l'écriture de A'(x)

pour ce dernier quotient:le dénom x^2 est toujours positif ,de plus x €[ 4;16]

donc x est toujours positifdonc( 4x^2  + 30x + 225) sera toujors positif d'où le signe de A'(x) sera celui de (2x - 15)

2x-15> 0 si 2x > 15 soit x> 7,5   et 2x-15 <0 si x <7,5

faire le tableau avec les  3 valeurs pour x : 4  ; 7,5  ;  16

A'(x) sera négatif sur le 1er intervalle et positif après.

donc A(x) sera décroissante sur le 1er et croissante sur le second, on voit sur le tableau que l'aire sera minimum si x=7,5cm  calculer alors A(x)  pour x= 7,5

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