Sagot :
1.Si k=113 alors 2k-1=226-1=225=15 au carré
Sik=196 alors 2k-1=392-1=391 n'est pas un carré parfait
2. n et n+1 sont deux entiers consécutifs tels que
ncarré+(n+1)carré=k
ncarré+ncarré+2n+1=k
2ncarré+2n+1-k=0
2ncarré+2n+(1-k)=0
Le discriminant delta de cette équation est 4-8(1-k)=4-8+8k=-4+8k
Donc delta=8k-4
Conclusion : 1.si delta<0 soit k<1/2 donc k<0 car k est un entier alors pas de solutions
2.delta=0 soit k=1/2 impossible car k est un entier
3.delta supérieur à 0 , soit k supérieur à 1/2 soit k supérieur à 1 car k est un entier alors 2 solutions
3.Soit 2k-1=qcarré
donc 2k=qcarré+1
donc k=(qcarré+1)/2
donc le delta de l'équation qui est égal à 8k-4 =8(qcarré+1)/2-4=4(qcarré+1)-4
=4qcarré+4-4=
=4qcarré TOUJOURS POSITIF CAR UN CARRE EST TOUJOURS POSITIF ET 4QCARRE EST LE CARRE DE 2Q
Donc il y a toujours au moins une solution
Sik=196 alors 2k-1=392-1=391 n'est pas un carré parfait
2. n et n+1 sont deux entiers consécutifs tels que
ncarré+(n+1)carré=k
ncarré+ncarré+2n+1=k
2ncarré+2n+1-k=0
2ncarré+2n+(1-k)=0
Le discriminant delta de cette équation est 4-8(1-k)=4-8+8k=-4+8k
Donc delta=8k-4
Conclusion : 1.si delta<0 soit k<1/2 donc k<0 car k est un entier alors pas de solutions
2.delta=0 soit k=1/2 impossible car k est un entier
3.delta supérieur à 0 , soit k supérieur à 1/2 soit k supérieur à 1 car k est un entier alors 2 solutions
3.Soit 2k-1=qcarré
donc 2k=qcarré+1
donc k=(qcarré+1)/2
donc le delta de l'équation qui est égal à 8k-4 =8(qcarré+1)/2-4=4(qcarré+1)-4
=4qcarré+4-4=
=4qcarré TOUJOURS POSITIF CAR UN CARRE EST TOUJOURS POSITIF ET 4QCARRE EST LE CARRE DE 2Q
Donc il y a toujours au moins une solution
Bonjour
n²+(n+1)²=k
n²+n²+2n+1=k
2n²+2n+1=k
2n²+2n+1-k=0
delta=2²-4*2(1-k)=4-8+8k=8k-4
n=(-2+√(8k-4))/4
=(-2+2√(2k-1))/4
=(-1+√(2k-1))/2
Si 2k-1 n'est pas un carré parfait alors (-1+√(2k-1))/2 ne sera pas entier.
2)
Admettons que 2k-1 soit un carré parfait.
2k-1=q²
k=(q²+1)/2
delta=8k-4=8(q²+1)/2 - 4 = 4q²
donc n=(-1+√(4q²))/2=(2q-1)/2
Or 2q-1 est impair donc (2q-1)/2 n'est pas entier.
Il n'existe donc pas 2 nombres consécutifs dont la somme des carrés soit un carré parfait
exercice 2
BH=BA+AH
=BA+2HC
=BA+2(HB+BC)
=BA+2HB+2BC
=BA+2HB+2(BA+AC)
=BA+2HB+2BA+2AC
BH=3BA+2AC-2BH
3BH=-3AB+2AC
BH=-AB+(2/3)AC
Dans la base AB, AC, le vecteur BH(-1;2/3)
GC=GA+AC
=-AG+AC
=(-3/2)AB+AC
Dans la base AB, AC, le vecteur GC(-3/2;1)
On fait le produit en croix et on constate que les deux vecteurs BH et GC sont colinéaires, donc les droites sont//
=(-3/2)AB+AC
n²+(n+1)²=k
n²+n²+2n+1=k
2n²+2n+1=k
2n²+2n+1-k=0
delta=2²-4*2(1-k)=4-8+8k=8k-4
n=(-2+√(8k-4))/4
=(-2+2√(2k-1))/4
=(-1+√(2k-1))/2
Si 2k-1 n'est pas un carré parfait alors (-1+√(2k-1))/2 ne sera pas entier.
2)
Admettons que 2k-1 soit un carré parfait.
2k-1=q²
k=(q²+1)/2
delta=8k-4=8(q²+1)/2 - 4 = 4q²
donc n=(-1+√(4q²))/2=(2q-1)/2
Or 2q-1 est impair donc (2q-1)/2 n'est pas entier.
Il n'existe donc pas 2 nombres consécutifs dont la somme des carrés soit un carré parfait
exercice 2
BH=BA+AH
=BA+2HC
=BA+2(HB+BC)
=BA+2HB+2BC
=BA+2HB+2(BA+AC)
=BA+2HB+2BA+2AC
BH=3BA+2AC-2BH
3BH=-3AB+2AC
BH=-AB+(2/3)AC
Dans la base AB, AC, le vecteur BH(-1;2/3)
GC=GA+AC
=-AG+AC
=(-3/2)AB+AC
Dans la base AB, AC, le vecteur GC(-3/2;1)
On fait le produit en croix et on constate que les deux vecteurs BH et GC sont colinéaires, donc les droites sont//
=(-3/2)AB+AC
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