3a)
n>=0 donc n+1>=1 donc n+1>0 donc 1/n+1>0
et n+1>=1 donc 1/(n+1)<=1
donc 0<=1/(n+1)<=1
b)
initalisation U0=1<=1/1, donc la propriété est vérifiée au rang 0
hérédité
On suppose que 0≤Uk≤1/n et on va démontrer qu'alors 0≤U(k+1)≤1/(k+1)
0≤Uk≤1/n
U(k+1)=f(Uk)
On a démontré qu'entre 0 et 1 f(x) est croissante
donc
f(Uk)≤f(1/k)
donc U(k+1)≤f(1/k)
je ne te mets pas les calculs: f(1/k)=k²/(k²+k+1)
donc U(k+1)≤k²/(k²+k+1)
Maintenant on va montrer que k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
Pour cela on va étudier le signe de 1/(k+1)- k²/(k²+k+1)
je ne te mets pas les calculs, ça fait: 1/(k+1)((k²+k+1)
k+1>0 et ((k²+k+1)>0 (delta négatif)
donc 1/(k+1)((k²+k+1)>0
donc k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
donc U(k+1)≤k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
donc U(k+1)≤1/(k+1)
d'autre part pour tout n, Un>0
Reste à montrer que Un>=0
toujours par récurrence : U0>0
puis si Uk positif alors f(Uk)=U(k+1)>0 (on l'a montré plus haut)
donc Un>0 pour tout n.
On a donc 0≤un≤1/n
4)
0≤un≤1/n
On applique le théorème des gendarmes
lim 0 que n tend vers inf=0
lim 1/n quand n tend vers l'infini=0
donc lim Un quand n inf=0
