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Les fonctions suivantes donnent le bénéfice de deux entreprises A et B réalisé pour la production de x milliers de jouets. Le bénéfice est exprimé en milliers d'euros.

f(x)= -x au carré + 16x - 39
g(x)= -x au carré + 24x -108

1) Pour quelle(s) quantité(s) produite(s):
a) L'entreprise A aura-t-elle un bénéfice nul ?
b) L'entreprise B aura-t-elle un bénéfice de 11 milliers d'euros ?

2) Pour quelle(s) quantité(s) produite(s) les entreprises auront-elles le même bénéfice?
Quel sera alors son montant, arrondi à l'euro près?

3) a)Montrer que la forme canonique de f est:
-(x-8)au carré + 25
b) construire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0;14].
c) Pour quelle(s) quantité(s) produite(s) l'entreprise A aura-t-elle un bénéfice maximum?
Combien vaut alors ce bénéfice, en euros?

Sagot :

1a) f(x)=0  -xcarré+16x-39=0
delta=256+156=100
donc deux valeurs de x donnent un bénéfice nul à A
x=(-16-10)/-2=13      et x=(-16+10)/-2=3
le bénéfice est donc nul pour une production de 13 milliers de jouets et 3 milliers de jouets

b)g(x)=11
-xcarré+24x-108=11
-xcarré+24x-119=0
delta=100
deux valeurs de x : 17 et -7
on ne gardera que la solution positive :17 car une production ne peut pas être <0

2.f(x)=g(x)
-xcarré+16x-39=-xcarré+24x-108
8x=69
x=69/8=8,625
Pour 8,625 milliers de jouets produits le bénef des 2 entreprises est le même
Ce bénéfice est égal à l'image de 8,625 par f et par g
f(8,625)=g(8,625)=24,61 arrondi à 25 milliers d'euros

3) f(x)=-xcarré+16x-39
=-(xcarré-16x+39)
=-((x-8)carré-64+39)
=-((x-8)carré-25)

b)      x            0                    8                           14
         f(x)              croiss        25         décroiss  

Pour x=8 milliers de jouets produits , l'entreprise A atteint son max de bénéfice qui est de 25 milliers d'euros


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