Du coup on va faire autrement qu'avec le produit scalaire :).
[ Je vais noter sous la forme AmB, les angles, je n'arrive pas à faire le chapeau sur la lettre du milieu. La lettre en minuscule est la lettre qui doit porter le chapeau. ]
1) Je n'ai pas fait la 1) si tu n'y arrives pas je peux la faire mais c'est juste de l'application de l'énoncé.
2) a) On place le point O, milieu du diamètre [AB] (et centre du cercle demi-cercle de rayon [OA]).
Notre objectif est de prouver que l'angle AmB = 90°, et donc que le triangle est rectangle en M. Pour cela, on va décomposer l'angle en deux:
AmB = AmO + OmB.
Le triangle AMO est isocèle en O (MO = AO = rayon du cercle).
On pose x la mesure de l'angle AmO. AmO = x.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
180° = 2x ( car triangle isocèle) + MoA ⇔MoA = 180° - 2x
De même, le triangle OmB est isocèle en O.
MoB = 180° (angle plat) - MoA ⇔ MoB = 180° - 180° - 2x ⇔ MoB = -2x
180° = MoB + MbO + OmB ⇔ 180° = 2 * OmB ( triangle isocèle) + MoB ⇔
2 * OmB = 180° - MoB ⇔ OmB = (180° - MoB) / 2.
OmB = 90° - MoB/2 = 90° - (-2x)/2 ⇔ OmB = 90 + x
Finalement, AmB = AmO + OmB = 90° - x + x = 90°.
Le triangle AMB est bien rectangle en M.
b). Les droites (BM) et (AC) sont donc perpendiculaires.
c). De même, les droites (AN) et (BC) sont perpendiculaires.
3. a). Il s'agit des hauteurs du triangle.
(BM) est la hauteur issue du segment (AC) et (AN) est la hauteur issue du segment (BC).
b). B correspond à l'hortocentre du triangle ABC, c'est-à-dire le point d'intersection des trois hauteurs du triangle.
c). La droite (CD) est donc perpendiculaire à la droite (AB).
Voila, j'espère que tu as tout compris. Si ce n'est pas le cas n'hésites pas à me poser des questions ;)