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Bonjour je n'arrive pas a cet exercic si vous pouvez m'aider merci

1. La somme de deux entiers consecutifs est elle divisible par 2?
2.on considère trois entiers consecutifs quelconques. On note n le premier. Exprimer en fonction de n et expliquer pourquoi elle est divisible par 3.
3. Soit n un entier impair. Expliquer pouquoi (n-1)×n×(n+1) est divisible par 8.
4) a) soit n un entier naturel, développer le produit (n+1)(n+2). En déduire une factorisation de E (n)=(n^2 +3n+1)^2 -1.
B) lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres entiers consécutifs, obtient-on un carré parfait ?

Sagot :

1) n+n+1=2n+1 donc la somme est impaire et donc elle ne se divise pas par 2
2) n+n+1+n+2=3n+3=3x(n+1) donc divisible par 3
3) n=2k +1 car c'est impair  alors 2Kx(2k+1)x(2K+2) divisible par 4 et ensuite tu considere 2 cas K pair et k impair
3) n est impair donc n est de la forme n=2k+1 avec k entier
(n-1)n(n+1)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(k+1)(2k+1)
k et k+1 sont 2 entiers consécutifs donc soit k, soit k+1 est pair donc k(k+1) est pair.
On peut donc écrire k(k+1)=2p soit
(n-1)n(n+1)=4*2p(2k+1)=8p(2k+1) donc (n+1)n(n+1) est divisible par 8.

4a) (n+1)(n+2)=n²+2n+n+2=n²+3n+2
E(n)=(n²+3n+1)²-1 est de la forme a²-b² donc
E(n)=(n²+3n+1+1)(n²+3n+1-1)
E(n)=(n²+3n+2)(n²+3n)=(n+1)(n+2)n(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)
4b) D'après la question précédente, on sait que
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n²+3n+1)²-1
Donc n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)²
Donc lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres entiers consécutifs on obtient un carré parfait.
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