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ABOUEISH
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Bonjour je suis élève en première S et j'aurais besoin de votre aide pour un exercice que je n'ai pas compris.

1.Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0

2. En déduire la somme des n premiers nombres entier pairs non nuls : S=2+4+...+2n

3.En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

Sagot :

Caylus
Bonjour,

1)
Soit P(x)=ax²+bx+c
Comme P(0)=0=a*0+b*0+c=>c=0
2x=P(x+1)-P(x)=a(x+1)²+b(x+1)-(ax²+bx)=ax²+2ax+a+bx+b-ax²-bx=2ax+a+b
=>2a=2=>a=1
       a+b=0 =>b=-1
P(x)=x²-x

2)
P(1)-P(0)=2*1=2
P(2)-P(1)=2*2=4
P(3)-P(2)=2*3=6
...
P(n-1)-P(n-2)=2(n-2)
P(n)-P(n-1)=2(n-1)
P(n+1)-P(n)=2n
On additionne membre à membre (on simplifie les ternes égaux)
=>P(n+1)-P(0)=2+4+6+..+2n or P(0)=0
Par définition P(n+1)=(n+1)²-(n+1)=n²+n=n(n+1)
=>P(n+1)=n(n+1)=2+4+6+...+2n

3)
de 2 à 2n par pas de 2 (2,4,6,8..,2n), il y a  n termes.
de 2-1 à 2n-1 par pas de 2, il y a n ternes

s3=1+3+5+7+9+..+2n-1
=1+0 + 1+2 + 1+4 + 1+6 +...+ 1+2(n-1)
=1*n+(0+2+4+6+..+2(n-1) )=n+P(n)
=n+(n-1)n=n+n²-n=n²

s2=2+4+6+8+..+2n=n(n+1)

s1=s3+s2=0+1+2+3+4+..+2n=n²+n²+n=n(2n+1).

Vérification:
1+2+3+4+...+2n
2n+..      +4+3+2+1
------------------------
(1+2n)*2n=2S
=>S=n(2n+1)

  





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