Réponse :
En -∞ :
[tex]x^2+3x+4=x^2(1+\frac{3}{x} +\frac{4}{x^2} )\\ \lim_{x \to -\infty} x^2=+\infty\\ \lim_{x \to -\infty} (1+\frac{3}{x} +\frac{4}{x^2} )=1\\[/tex]
donc par produit des limites
[tex]\lim_{x \to -\infty} (x^2+3x+4)=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{X \to +\infty} (lnX)=+\infty[/tex]
donc par composée
[tex]\lim_{x \to -\infty} ln(x^2+3x+4)=+\infty[/tex]
En +∞ :
[tex]\lim_{x \to +\infty} x^2=+\infty\\ \lim_{x \to +\infty} (1+\frac{3}{x} +\frac{4}{x^2} )=1\\[/tex]
donc par produit des limites
[tex]\lim_{x \to +\infty} (x^2+3x+4)=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{X \to +\infty} (lnX)=+\infty[/tex]
donc par composée
[tex]\lim_{x \to +\infty} ln(x^2+3x+4)=+\infty[/tex]
2.
x²+3x+4 > 0 sur R (Δ=-7)
donc f est dérivable sur R.
f est de la forme ln(u) avec u(x) = x²+3x+4 et u'(x) = 2x+3
[tex]f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+4}[/tex]
x²+3x+4 est strictement positif sur R donc f'(x) à le même signe que 2x+3
2x+3 ≥0
2x≥-3
x≥-3/2
Ainsi sur ]-∞; -3/2], f'(x) est négative donc f est décroissante.
Sur [-3/2; +∞[, f'(x) est positive donc f est croissante.
f(-3/2) = ln(7/4)
Explications étape par étape :
