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Sagot :
Bonsoir,
je te mets déjà la première partie:
1) a) Vn=U(n+1)/Un
= (n+1)²/2^(n+1)/n²/2^n
= (n+1)²/2n² =(n²+2n+1)/2n²
=n²(1+2/n+1/n²)/2n²
=(1+(2/n)+(1/n²))/2
lim 1+2/n+1/n²=1
donc lim Vn=1/2
b) on va étudier le signe de Vn-1/2
(n+1)²/2n² - 1/2
= ((n+1)² - n²)/2n²
=(2n+1)/2n²>0 pour tout n>0
donc Vn>1/2
c)
Il faut donc résoudre l’inéquation : (x+1)²/2x²<3/4
3/4-(x+1)²/2x²>0
(x²-4x-2)/2x²>0
2x²>0 pour tout x différent de 0
Le trinôme est du signe de (x²-4x-2)
racine (2-√(6))/2 ; 2+√(6)
donc il faut prendre pour N le premier entier qui suit 2+√(6)=4,44 environ donc on prend N=5 et n>=5
d) Pour n>=5, Vn=U(n+1)/Un<3/4 Un>0
Donc U(n+1)<(3/4)*Un
je te mets déjà la première partie:
1) a) Vn=U(n+1)/Un
= (n+1)²/2^(n+1)/n²/2^n
= (n+1)²/2n² =(n²+2n+1)/2n²
=n²(1+2/n+1/n²)/2n²
=(1+(2/n)+(1/n²))/2
lim 1+2/n+1/n²=1
donc lim Vn=1/2
b) on va étudier le signe de Vn-1/2
(n+1)²/2n² - 1/2
= ((n+1)² - n²)/2n²
=(2n+1)/2n²>0 pour tout n>0
donc Vn>1/2
c)
Il faut donc résoudre l’inéquation : (x+1)²/2x²<3/4
3/4-(x+1)²/2x²>0
(x²-4x-2)/2x²>0
2x²>0 pour tout x différent de 0
Le trinôme est du signe de (x²-4x-2)
racine (2-√(6))/2 ; 2+√(6)
donc il faut prendre pour N le premier entier qui suit 2+√(6)=4,44 environ donc on prend N=5 et n>=5
d) Pour n>=5, Vn=U(n+1)/Un<3/4 Un>0
Donc U(n+1)<(3/4)*Un
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