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ABC est un triangle rectangle en A,
M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [BC].
Montrer que (MN) est perpendiculaire à (AB)

Sagot :

BG57
Bonsoir,
1ère étape:

On sait que:
_M est milieu de AB;
_N est milieu de BC.
D'après le théorème de la droite des milieux:
Si une droite coupe le milieu de 2 côtés d'un triangle alors elle est parallèle aux 3ème côté.
Donc (MN) est parallèle à (AC).

2ème étape:

On sait que:
_(MN) est parallèle à (AC);
_(AC) est perpendiculaire à (BA).
Si 2 droites sont parallèles et si une 3ème droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.
Donc (MN) est perpendiculaire à (BA).

Il faut utiliser le théorème des milieux :

Enoncé : Si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

Donc si M est le milieu de [AB] et que N est le milieu de [BC], alors la droite (MN) et parallèle à la droite (AC).

Maintenant, on sait que ABC est un triangle rectangle en A : donc (AC) est perpendiculaire à (AB).

Enoncé : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une et perpendiculaire à l'autre.

Donc si (MN) et (AC) sont parallèles et que (AC) est perpendiculaire à (AB) alors (MN) est également perpendiculaire à (AB).

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