Salut, je n'en suis pas très sûr mais bon d'autres utilisateurs me corrigeront si nécessaire:
Montrons par récurrence que, pour tout n≥4, n! ≥ n². On pose P(n) la propriété telle que P(n): n! ≥ n².
Initialisation:
On compare 4! et 4²
4!= 1x2x3x4= 24
4²=16
On remarque que 4! > 4², Donc P(4) est vraie.
Hérédité:
On suppose pour n ≥ 4 fixé quelconque, que P(n) est vraie. Montrons que P(n+1) est vraie.
D'après l'hypothèse de récurrence:
on a n! ≥ n²
alors, n! +2n ≥ n²+2n
alors, n! +2n +1 ≥ n²+2n+1
alors, n! +2n+1 ≥ (n+1)²
Or n ≥ 4 donc 2n+1 ≥ 9.
Donc n! +2n+1 > n! ≥ n²
Donc P(n) est héréditaire.
Conclusion: On a montré que P(4) est vraie et que P(n) est héréditaire à partir de ce rang. Donc d'après le principe de raisonnement par récurrence, pour tout n ≥ 4, n! ≥ n².
