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Bonsoir,
Soit [tex]f[/tex] la fonction qui est définie sur l'ensemble ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ par : [tex]f(x)=\frac{1}{x^{2} }[/tex]
1) Soient a et b deux réels > 0 tels que a ⩽ b
a) Démontrons que [tex]f(b)-f(a)=\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}b^{2} }[/tex]
[tex]f(b)-f(a)=\frac{1}{b^{2} }-\frac{1}{a^{2} }[/tex]
⇒ [tex]f(b)-f(a)=\frac{1*a^{2} }{b^{2} *a^{2} }-\frac{1*b^{2} }{a^{2} *b^{2} }[/tex]
⇒ [tex]f(b)-f(a)=\frac{a^{2} }{ab^{2} } -\frac{b^{2} }{ab^{2} }[/tex]
⇒ [tex]f(b)-f(a)=\frac{a^{2} -b^{2} }{ab^{2} }[/tex]
⇒ [tex]f(b)-f(a)=\frac{(a-b)(a+b)}{ab^{2} }[/tex]
b) On a :
0 < a [tex]\leq[/tex] b
On en déduit que :
a + b > 0 et que a - b < 0 ⇒ (a - b)(a + b) < 0
Le numérateur est donc négatif.
On a :
0 < a [tex]\leq[/tex] b
On en déduit que :
a² × b² > 0
Le dénominateur est positif.
Comme le numérateur est positif et que le dénominateur est négatif, le quotient sera négatif.
D'où [tex]f(b)-f(a)<0[/tex]
c) On a :
[tex]0<a\leq b[/tex]
On divise chaque membre [tex]0<a\leq b[/tex] par [tex]ab[/tex] qui est strictement positif.
On obtient :
⇒ [tex]\frac{0}{ab}<\frac{a}{ab}\leq \frac{b}{ab}[/tex]
⇒ [tex]0<\frac{a}{ab}\leq \frac{b}{ab}[/tex]
⇒ [tex]0<\frac{1}{b}\leq \frac{1}{a}[/tex]
⇒ [tex]\frac{1}{a^{2} } \geq \frac{1}{b^{2} }[/tex] (on change le signe)
Donc [tex]0<a\leq b[/tex] ⇒ [tex]\frac{1}{a^{2} }\geq \frac{1}{b^{2} }[/tex]
Donc la fonction [tex]f(x)=\frac{1}{x^{2} }[/tex] est décroissante sur ]0; +∞[.
2) On a :
[tex]a\leq b<0[/tex]
On divise chaque membre [tex]a\leq b<0[/tex] par [tex]ab[/tex] qui est strictement positif.
On obtient :
⇒ [tex]\frac{a}{ab}\leq \frac{b}{ab}<\frac{0}{ab}[/tex]
⇒ [tex]\frac{a}{ab}\leq \frac{b}{ab}<0[/tex]
⇒ [tex]\frac{1}{b}\leq \frac{1}{a}<0[/tex]
⇒ [tex]\frac{1}{b^{2} } \leq \frac{1}{a^{2} }[/tex]
Donc [tex]a\leq b<0[/tex] ⇒ [tex]\frac{1}{b^{2} } \leq \frac{1}{a^{2} }[/tex]
Donc la fonction [tex]f(x)=\frac{1}{x^{2} }[/tex] est croissante sur ]-∞; 0[.
En espérant t'avoir aidé(e).