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Sagot :
1) Au vu du graphique on peut conjecturer que la suite est croissante et convergente.
2)
2-1/(x+1)=x
2-1/(x+1) - x=0
(2x+2-1-x²-x)/(x+1)=0
(-x²+x+1)/(x+1)=0
Il faut donc résoudre: (-x²+x+1)=0
soit x²-x-1=0
delta= 5
x1= (1+√(5))/2
x2= (1-√(5))/2
b)
f'(x)=1/(x+1)²>0
donc f(x) est croissante sur 0, +inf
3)
On initialise:
U0=0
U1=1
On a bien 0≤U0≤U1≤(1+√(5))/2
hérédité
supposons 0≤Un≤U(n+1)≤(1+√(5))/2
et démontrons qu'alors 0≤U(n+1)≤U(n+2)≤(1+√(5))/2
0≤Un≤U(n+1)≤(1+√(5))/2
donc comme la fonction est croissante l'ordre des images est conservé, donc
f(0)≤f(Un)≤f(U(n+1))≤f((1+√(5))/2)
f(0)=1
f(Un)=U(n+1)
f(U(n+1))=U(n+2)
f((1+√(5))/2)=1+√(5))/2 puisque α est la solution de f(x)=x
donc
1≤U(n+1)≤U(n+2)≤(1+√(5))/2
donc
0≤Un≤U(n+1)≤(1+√(5))/2)
donc
0≤Un≤U(n+1)≤α
b)
Un≤U(n+1) donc la suite est croissante
Un≤U(n+1)≤α donc la suite est majorée
Elle est croissante et majorée: elle est donc convergente.
4)
Si une suite admet une limite alors cette limite est unique:
on a donc l=f(l) donc l=α
Je te mets déjà jusque là, et on en discute.
2)
2-1/(x+1)=x
2-1/(x+1) - x=0
(2x+2-1-x²-x)/(x+1)=0
(-x²+x+1)/(x+1)=0
Il faut donc résoudre: (-x²+x+1)=0
soit x²-x-1=0
delta= 5
x1= (1+√(5))/2
x2= (1-√(5))/2
b)
f'(x)=1/(x+1)²>0
donc f(x) est croissante sur 0, +inf
3)
On initialise:
U0=0
U1=1
On a bien 0≤U0≤U1≤(1+√(5))/2
hérédité
supposons 0≤Un≤U(n+1)≤(1+√(5))/2
et démontrons qu'alors 0≤U(n+1)≤U(n+2)≤(1+√(5))/2
0≤Un≤U(n+1)≤(1+√(5))/2
donc comme la fonction est croissante l'ordre des images est conservé, donc
f(0)≤f(Un)≤f(U(n+1))≤f((1+√(5))/2)
f(0)=1
f(Un)=U(n+1)
f(U(n+1))=U(n+2)
f((1+√(5))/2)=1+√(5))/2 puisque α est la solution de f(x)=x
donc
1≤U(n+1)≤U(n+2)≤(1+√(5))/2
donc
0≤Un≤U(n+1)≤(1+√(5))/2)
donc
0≤Un≤U(n+1)≤α
b)
Un≤U(n+1) donc la suite est croissante
Un≤U(n+1)≤α donc la suite est majorée
Elle est croissante et majorée: elle est donc convergente.
4)
Si une suite admet une limite alors cette limite est unique:
on a donc l=f(l) donc l=α
Je te mets déjà jusque là, et on en discute.
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